2006-北京文-09 填-三点共线求参

本题导读

本题考查向量的坐标运算，以及三点共线。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 若三点 $A(2,2)$，$B(a,0)$，$C(0,4)$ 共线，则 $a$ 的值等于____．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{AB}=(a-2,-2)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,2)$。
2. 三点共线即 $\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{AC}$：$(a-2)\times 2-(-2)\times (-2)=0$。
3. 解得 $2a-4-4=0$，$a=4$。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

$\overrightarrow{AB}=(a-2,-2)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,2)$． 三点 $A,B,C$ 共线，故 $\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{AC}$，即 $(a-2)\times 2-(-2)\times (-2)=0$， 解得 $2a-8=0$，$a=4$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三点共线求参

核心方法：向量共线坐标化

避坑指南：$\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{AC}$ 用坐标交叉积为零求 $a$；也可用斜率相等，注意 $B$ 在 $x$ 轴上别代错坐标

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三点共线与向量平行的坐标表示

结论推广: $A,B,C$ 共线 $⟺\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{AC}$，坐标交叉积为零

方法推广: 三点共线问题坐标化后化为一个未知数的方程，斜率相等是等价验算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2008-江西文-22 解-抛物线三点共线与公共点
• 2009-重庆卷文-04 单-向量平行
• 2013-陕西卷文-02 单-向量平行求参