2006-北京文-06 单-等比数列中项与积

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及等比中项。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 如果 $-1,a,b,c,-9$ 成等比数列，那么()

A. $b=3,ac=9$　B. $b=-3,ac=9$　C. $b=3,ac=-9$　D. $b=-3,ac=-9$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等比数列中 $b$ 是 $-1$ 与 $-9$ 的等比中项：$b^2=(-1)\times (-9)=9$。
2. 等比数列奇数项同号（公比 $q^2>0$ 隔两项不变号）：$-1<0$，故 $b<0$，$b=-3$。
3. $a,c$ 是 $b$ 的相邻项：$ac=b^2=9$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由等比数列性质，$b^2=(-1)\times (-9)=9$，故 $b=\pm 3$． 又等比数列中隔两项（奇数项）符号相同：第 $1$ 项 $-1<0$，第 $3$ 项 $b$ 与之同号，故 $b=-3$． 且 $ac=b^2=9$（第 $2$、$4$ 项以 $b$ 为等比中项）． 故 $b=-3$，$ac=9$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列中项与积

核心方法：等比中项平方关系，奇数项同号定符号

避坑指南：等比数列奇数项同号，$b$ 与 $-1$ 隔两项应同负，故 $b=-3$；$ac=b^2=9$；只由 $b^2=9$ 就选 $b=3$ 会错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 等比数列性质与符号判断，概念辨析题

结论推广: 等比数列奇数项同号，等比中项 $b^2=ac$ 给绝对值，符号看项的位置

方法推广: 等比数列符号问题：各项符号由首项与公比正负共同决定，奇偶项分别同号

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-07 单-等比数列基本量
• 2009-北京文-10 填-等比数列求和
• 2008-浙江文-04 单-等比数列公比