2006-全国卷II理-22 解-等比数列的定义与通项公式

本题导读

本题是一道构思精巧的数列压轴大题。核心考查通过将数列的前 $n$ 项和代入一元二次方程根的隐式条件中，转化解构出数列两相邻项之间的非线性或线性递推链条。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且方程 $x^2-a_{n}x-a_n=0$ 有一根为 $S_n-1$， $n=1,2,3,\dots$.

(1) 求 $a_1,a_2$；

(2) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：将方程的根 $S_n-1$ 直接代入方程，建立 $S_n$ 与 $a_n$ 的通用递推等式。当 $n=1$ 时，利用 $S_1=a_1$ 代入方程求出 $a_1$。当 $n=2$ 时，利用 $S_2=a_1+a_2$ 代入方程，结合已知的 $a_1$ 求出 $a_2$。 第二问：由第一问得到的通用项方程 $(S_n-1{)}^2-a_n(S_n-1)-a_n=0$，将 $a_n$ 替换为 $S_n-S_{n-1}$ ($n\ge 2$)。通过因式分解和代数整理，将多项式降维，找出 $S_n$ 与 $S_{n-1}$ 之间的比例递推规律。证明其为等比数列后，反求通项 $a_n$。

✅【答案】

Success

(1) $a_1=\frac{1}{2}$，$a_2=\frac{1}{6}$

(2) $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）因为方程 $x^2-a_{n}x-a_n=0$ 有一根为 $S_n-1$，根据方程根的定义，将 $x=S_n-1$ 直接代入方程中恒成立： $(S_n-1{)}^2-a_n(S_n-1)-a_n=0\text{(1)}$ 展开并合并关于 $a_n$ 的项： $(S_n-1{)}^2-a_n(S_n-1+1)=0⟹(S_n-1{)}^2-a_n{S}_n=0\text{(2)}$

当 $n=1$ 时，前 1 项和 $S_1=a_1$，代入 ② 式可得： $(a_1-1{)}^2-a_1^2=0⟹a_1^2-2a_1+1-a_1^2=0⟹-2a_1+1=0⟹a_1=\frac{1}{2}$

当 $n=2$ 时，前 2 项和 $S_2=a_1+a_2=\frac{1}{2}+a_2$。将 $n=2$ 的基本条件代入 ② 式： $(S_2-1{)}^2-a_2{S}_2=0$ 将 $S_2=\frac{1}{2}+a_2$ 代入上式中： ${\left(\frac{1}{2}+a_2-1\right)}^2-a_2\left(\frac{1}{2}+a_2\right)=0⟹{\left(a_2-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}{a}_2-a_2^2=0$ 展开多项式进行合并： $a_2^2-a_2+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}{a}_2-a_2^2=0⟹-\frac{3}{2}{a}_2+\frac{1}{4}=0⟹\frac{3}{2}{a}_2=\frac{1}{4}⟹a_2=\frac{1}{6}$ 故， $a_1=\frac{1}{2}$， $a_2=\frac{1}{6}$。

（2）当 $n\ge 2$ 时，把 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 代入 ②： $(S_n-1{)}^2-(S_n-S_{n-1})S_n=0,$ 展开得 $S_{n-1}{S}_n-2S_n+1=0$，即 $S_n(2-S_{n-1})=1.\text{(3)}$

关键一步是把 ③ 改写成”作差”的形状。由 ③ 得 $2S_n-S_n{S}_{n-1}=1$，两边同减 $S_n$： $S_n-1=S_n(S_{n-1}-1).\text{(4)}$ 由 $S_1=a_1=\frac{1}{2}\ne 1$ 并结合 ④ 归纳可知 $S_n\ne 1$ 恒成立，故 ④ 两边可同除以 $(S_n-1)(S_{n-1}-1)$，得 $\frac{1}{S_n-1}-\frac{1}{S_{n-1}-1}=-1(n\ge 2).$ 所以 $\left\{\frac{1}{S_n-1}\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{S_1-1}=-2$、公差为 $-1$ 的等差数列，于是 $\frac{1}{S_n-1}=-2-(n-1)=-(n+1),$ 即 $S_n-1=-\frac{1}{n+1}$，$S_n=\frac{n}{n+1}$。

最后还原 $a_n$：$n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{n^2-(n-1)(n+1)}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)};$ 而 $n=1$ 时 $\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{2}=a_1$，可以合并。 故 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：方程根的代数带入特征、 $S_n$ 与 $a_n$ 的非线性多项式化简、通过创造分子加减 1 构造等差模型（倒数法思想）。
• 核心方法：辅助数列构造法（等差转化法）。
• 避坑指南：
• 第二问由 $S_n(2-S_{n-1})=1$ 向下推进时，切忌盲目展开，应设法将 $S_n$ 和 $S_{n-1}$ 聚拢在分式两端，通过“分子加减项”拆分出常数 1 从而激活等差数列模型。
• 最终由 $S_n$ 求 $a_n$ 时，必须严密标注 $n\ge 2$ 的分步讨论，并在最后一步对 $n=1$ 进行合并校验。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是经典的高考数学最高分值数列压轴题。通过一元二次方程这一代数外壳，精妙地隐藏了高阶分式型递推数列（不动点理论模型），是一道全方位考查代数恒等变形综合控制力的杰作。 结论推广: 本题递推本质上属于分式线性变换（Riccati 递推数列） $S_n=\frac{A{S}_{n-1}+B}{C{S}_{n-1}+D}$。对于此类模型，通过寻找特征方程的不动点并进行特征差值取倒数，均能百分之百将其降维转化为标准的等差数列进行秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-17 解-等比数列前 n 项公式
• 2007-大纲Ⅱ文-17 解-等比数列通项与分类讨论
• 2007-天津文-20 解-递推构造等比数列