2006-全国卷II理-20 解-构造新函数法

本题导读

本题考查利用导数解决不等式恒成立问题。核心在于通过构造辅助函数，借助一阶导数和二阶导数分析函数的单调性与最值，从而锁定参数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 设函数 $f(x)=(x+1)\ln (x+1)$. 若对所有的 $x\ge 0$，都有 $f(x)\ge ax$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

方法一（构造差值函数法）：令 $g(x)=f(x)-ax=(x+1)\ln (x+1)-ax$，由于 $g(0)=0$，要在 $x\ge 0$ 时恒有 $g(x)\ge 0$，只需研究 $g(x)$ 的单调性。求出一阶导数 $g^{\prime }(x)=\ln (x+1)+1-a$。分析 $g^{\prime }(0)=1-a$ 对应的单调边界临界特征。 方法二（分离参数法）：当 $x=0$ 时，不等式 $0\ge 0$ 恒成立。当 $x>0$ 时，将不等式分离参数变形为 $a\le \frac{(x+1)\ln (x+1)}{x}$。构造新函数 $h(x)=\frac{(x+1)\ln (x+1)}{x}$，利用导数求其在 $(0,+\infty )$ 上的最小值或下确界。

✅【答案】

Success

实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,1]$.

✍【详细解析】

Abstract

解：方法一：构造差值函数法 由题意，对所有的 $x\ge 0$， $f(x)\ge ax$ 恒成立，即： $(x+1)\ln (x+1)-ax\ge 0\text{恒成立}$ 构造辅助函数 $g(x)=(x+1)\ln (x+1)-ax$，其定义域为 $[0,+\infty )$。 显然，当 $x=0$ 时， $g(0)=(0+1)\ln (1)-0=0$。 要使 $g(x)\ge 0$ 在 $[0,+\infty )$ 上恒成立，只需 $g(x)$ 的最小值大于或等于 0。

对 $g(x)$ 求导，应用乘法求导法则可得： $g^{\prime }(x)=[(x+1){]}^{\prime }\ln (x+1)+(x+1)[\ln (x+1){]}^{\prime }-a$ $g^{\prime }(x)=1\cdot \ln (x+1)+(x+1)\cdot \frac{1}{x+1}-a=\ln (x+1)+1-a$

对 $a$ 的取值范围进行分类讨论：

• 情况 1：当 $a\le 1$ 时， $1-a\ge 0$。 因为 $x\ge 0⟹x+1\ge 1$，根据对数函数的单调性， 恒有 $\ln (x+1)\ge 0$。 所以 $g^{\prime }(x)=\ln (x+1)+1-a\ge 0$ 恒成立。 则函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增。 因此，当 $x\ge 0$ 时，恒有 $g(x)\ge g(0)=0$。符合题意。

• 情况 2：当 $a>1$ 时， $1-a<0$。 令 $g^{\prime }(x)=0⟹\ln (x+1)=a-1⟹x+1={\text{e}}^{a-1}⟹x={\text{e}}^{a-1}-1$。 因为 $a>1⟹a-1>0⟹{\text{e}}^{a-1}>1$，所以极值点 $x_0={\text{e}}^{a-1}-1>0$。

• 当 $x\in (0,{\text{e}}^{a-1}-1)$ 时， $\ln (x+1)<a-1⟹g^{\prime }(x)<0$，函数 $g(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in ({\text{e}}^{a-1}-1,+\infty )$ 时， $\ln (x+1)>a-1⟹g^{\prime }(x)>0$，函数 $g(x)$ 单调递增。 因此， $g(x)$ 在 $x={\text{e}}^{a-1}-1$ 处取得全局极小值，也是最小值。 由于 $g(x)$ 在 $(0,{\text{e}}^{a-1}-1)$ 上单调递减，故当 $x\in (0,{\text{e}}^{a-1}-1)$ 时，必有： $g(x)<g(0)=0$ 这与对所有 $x\ge 0$ 恒有 $g(x)\ge 0$ 矛盾，不合题意。

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,1]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数乘法法则、含参差值函数的单调性讨论、恒成立问题在边界点 $g(0)=0$ 处的导数刚性约束。
• 核心方法：构造函数分类讨论法。
• 避坑指南：
• 求导时注意 $(x+1)\ln (x+1)$ 中包含自变量的两部分相乘，必须使用复合乘法求导公式 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$，避免直接粗心漏掉其中的常数项 $1$。
• 情况二中，必须明确说明在递减区间内 $g(x)<g(0)=0$ 导致不合题意，利用端点值的相对大小完成逻辑闭环。

📖【试题探源与推广】

Tip

【试题探源】: 本题是导数工具考查函数单调性与最值恒成立问题的经典中档解答题，主要考查对一阶导数正负零点相对位置的分析，是后续导数压轴双参数问题的简化原型。 【结论推广】: 函数 $f(x)=(x+1)\ln (x+1)$ 在 $x=0$ 处的切线方程为 $y=x$。根据凸函数的几何特征，由于该函数在 $x\ge 0$ 上是凹函数（因为 $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x+1}>0$ 恒成立），其全图象恒在切线 $y=x$ 的上方，即 $f(x)\ge x$ 恒成立。因此，只要直线的斜率 $a\le 1$，直线 $y=ax$ 必定落在凹曲线的下方。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-安徽卷理-18 解-构造新函数证明不等式恒成立
• 2008-大纲Ⅱ文-21 解-三次函数极值与最值恒成立
• 2010-新课标Ⅰ文-21 解-导数单调与恒成立