2006-全国卷II理-18 解-互斥事件与对立事件的概率

本题导读

本题考查独立事件的概率乘法原理、超几何分布的概率计算，以及离散型随机变量分布列与数学期望的求解。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 某批产品成箱包装，每箱 5 件，一用户在购进该批产品前先取出 3 箱，再从每箱中任意取出 2 件产品进行检验. 设取出的第一，二，三箱中分别有 0 件， 1 件， 2 件二等品，其余为一等品.

(1) 用 $\xi$ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数，求 $\xi$ 的分布列及 $\xi$ 的数学期望；

(2) 若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：设从第一、二、三箱中抽出的二等品件数分别为 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$。各箱的抽取过程相互独立，且分别服从超几何分布。总件数 $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3$。分析各箱可能抽出的二等品件数，锁定 $\xi$ 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3。分别计算每种取值的概率列出分布列，利用定义计算期望。由于 $E\xi =E{\xi }_1+E{\xi }_2+E{\xi }_3$，也可利用期望的线性性质简化计算。 第二问：用户拒绝购买的条件为 $\xi \ge 2$。其对立事件为 $\xi <2$（即 $\xi =0$ 或 $\xi =1$）。利用 $P(\xi \ge 2)=1-P(\xi =0)-P(\xi =1)$ 快速求解。

✅【答案】

Success

$P(\xi =0)=\frac{9}{50}，P(\xi =1)=2450，P(\xi =2)=15$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 设从第一、二、三箱中抽检出的二等品件数分别为 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$，则抽检的 6 件产品中二等品的总件数 $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3$。 根据题意，从各箱中抽检产品是相互独立的。

• 第一箱中无二等品，故 ${\xi }_1=0$ 恒成立，即 $P({\xi }_1=0)=1$。
• 第二箱中有 1 件二等品， 4 件一等品。从中任取 2 件， ${\xi }_2$ 的可能取值为 0, 1： $P({\xi }_2=0)=\frac{C_1^0{C}_4^2}{C_5^2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ $P({\xi }_2=1)=\frac{C_1^1{C}_4^1}{C_5^2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$
• 第三箱中有 2 件二等品， 3 件一等品。从中任取 2 件， ${\xi }_3$ 的可能取值为 0, 1, 2： $P({\xi }_3=0)=\frac{C_2^0{C}_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$ $P({\xi }_3=1)=\frac{C_2^1{C}_3^1}{C_5^2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ $P({\xi }_3=2)=\frac{C_2^2{C}_3^0}{C_5^2}=\frac{1}{10}$

由此可知， $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3=0+{\xi }_2+{\xi }_3$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3。 利用独立事件的乘法公式与互斥事件的加法公式，分别计算 $\xi$ 取各值的概率：

• 当 $\xi =0$ 时，必须有 ${\xi }_2=0$ 且 ${\xi }_3=0$： $P(\xi =0)=P({\xi }_2=0)P({\xi }_3=0)=\frac{6}{10}\times \frac{3}{10}=\frac{18}{100}=\frac{9}{50}$
• 当 $\xi =1$ 时，包含 $({\xi }_2=1,{\xi }_3=0)$ 与 $({\xi }_2=0,{\xi }_3=1)$ 两种互斥情况： $P(\xi =1)=P({\xi }_2=1)P({\xi }_3=0)+P({\xi }_2=0)P({\xi }_3=1)=\frac{4}{10}\times \frac{3}{10}+\frac{6}{10}\times \frac{6}{10}=\frac{12+36}{100}=\frac{48}{100}=\frac{12}{25}$
• 当 $\xi =2$ 时，包含 $({\xi }_2=1,{\xi }_3=1)$ 与 $({\xi }_2=0,{\xi }_3=2)$ 两种互斥情况： $P(\xi =2)=P({\xi }_2=1)P({\xi }_3=1)+P({\xi }_2=0)P({\xi }_3=2)=\frac{4}{10}\times \frac{6}{10}+\frac{6}{10}\times \frac{1}{10}=\frac{24+6}{100}=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$
• 当 $\xi =3$ 时，必须有 ${\xi }_2=1$ 且 ${\xi }_3=2$： $P(\xi =3)=P({\xi }_2=1)P({\xi }_3=2)=\frac{4}{10}\times \frac{1}{10}=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}$

故 $\xi$ 的概率分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	$\frac{18}{100}$	$\frac{48}{100}$	$\frac{30}{100}$	$\frac{4}{100}$

(注：保持分母为100便于直接校验求和： $18+48+30+4=100$，概率正确)

根据离散型随机变量数学期望的定义： $E\xi =0\times \frac{18}{100}+1\times \frac{48}{100}+2\times \frac{30}{100}+3\times \frac{4}{100}=\frac{0+48+60+12}{100}=\frac{120}{100}=\frac{6}{5}$

(另解：利用数学期望的线性性质 $E\xi =E{\xi }_1+E{\xi }_2+E{\xi }_3$。因 $E{\xi }_1=0$； $E{\xi }_2=1\times \frac{4}{10}=\frac{2}{5}$； $E{\xi }_3=1\times \frac{6}{10}+2\times \frac{1}{10}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。故 $E\xi =0+\frac{2}{5}+\frac{4}{5}=\frac{6}{5}$)

(2) 设“这批产品被用户拒绝购买”为事件 $A$，其含义为 $\xi \ge 2$。 利用对立事件原理计算其概率： $P(A)=P(\xi \ge 2)=1-P(\xi <2)=1-P(\xi =0)-P(\xi =1)$ 代入已知概率值： $P(A)=1-\frac{18}{100}-\frac{48}{100}=1-\frac{66}{100}=\frac{34}{100}=\frac{17}{50}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：各独立箱体内部超几何分布的模型构建、独立事件交叉相乘性质、离散分布列与期望定义、对立事件放缩转化。
• 核心方法：分步相乘法、期望性质定理法。
• 避坑指南：
• 第一问中 $\xi =1$ 或 $\xi =2$ 均由两箱贡献的组合构成，极易由于粗心漏掉其中一种分配组合形式（如算 $\xi =2$ 时漏掉 ${\xi }_2=0,{\xi }_3=2$）。
• 第二问中直接使用 1 减去 $\xi =0$ 和 $\xi =1$ 的情况最简捷。如果直接计算 $P(\xi =2)+P(\xi =3)$，也必须保证和第一问的数据完全对齐。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查经典概率模型的应用大题，将超几何分布与独立事件通过“成箱抽样”的工业实际检验背景复合在一起，考查逻辑链条的完整性。 结论推广: 设由 $n$ 个相互独立的系统组成的混合系统，每个系统的独立输出变量为 $X_i$，则其总输出和的数学期望恒等于各分项期望的代数和，即 $E(\sum X_i)=\sum E{X}_i$。此规律在处理高维离散联合分布期望时可以绕过繁琐的分布列直接秒杀。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-19 解-独立事件概率
• 2008-天津文-18 解-独立事件投球概率
• 2009-北京文-17 解-独立事件概率