2006-全国卷II理-17 解-三角函数的最值求解

本题导读

本题考查平面向量的坐标线性运算、数量积为零的垂直判定法，以及利用辅助角公式求解三角函数型向量模的最值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 已知向量 $\vec{a}=(\sin \theta ,\sqrt{3})$， $\vec{b}=(1,\cos \theta )$， $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$.

(1) 若 $\vec{a}\perp \vec{b}$，求 $\theta$；

(2) 求 $|\vec{a}+\vec{b}|$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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第一问：根据两向量垂直的充要条件 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$，代入坐标写出方程 $\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =0$。利用辅助角公式化简为单弦形式，结合给定区间解出角 $\theta$。 第二问：先求出和向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 的坐标，根据模长公式将其表示为关于 $\theta$ 的三角函数根式。利用同角三角函数关系以及辅助角公式进行降幂合并，最终利用 $\theta$ 的取值范围确定正弦函数的最大值。

✅【答案】

Success

(1) $\theta =-\frac{\pi }{3}$；

(2) $3$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 因为 $\vec{a}=(\sin \theta ,\sqrt{3})$， $\vec{b}=(1,\cos \theta )$，且 $\vec{a}\perp \vec{b}$， 所以 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。 根据向量数量积的坐标运算法则可得： $\sin \theta \times 1+\sqrt{3}\times \cos \theta =0⟹\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =0$。

运用辅助角公式进行合成，两边同时乘以 $\frac{1}{2}$（或提取振幅 2）： 得 $2\left(\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta \right)=0⟹2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=0$。 从而： 得 $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=0$。

因为已知 $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$，不等式各部分同时加上 $\frac{\pi }{3}$ 以锁定新相角的范围： 得 $-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}<\theta +\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}⟹-\frac{\pi }{6}<\theta +\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{8}\left(\text{即 }\frac{5\pi }{6}\right)$。 在此区间内，正弦值为 0 的角只有 0，即： 得 $\theta +\frac{\pi }{3}=0⟹\theta =-\frac{\pi }{3}$。

(2) 首先求出和向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 的坐标表示： 得 $\vec{a}+\vec{b}=(\sin \theta +1,\sqrt{3}+\cos \theta )$。

根据平面向量模的坐标计算公式，可得： $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=(\sin \theta +1{)}^2+(\sqrt{3}+\cos \theta {)}^2$。 展开多项式： 得 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2={\sin }^2\theta +2\sin \theta +1+3+2\sqrt{3}\cos \theta +{\cos }^2\theta$。 利用同角三角函数平方和恒等式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 进行常数合并： 得 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )+4+2\sin \theta +2\sqrt{3}\cos \theta$。 即 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=5+2(\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta )$。

再次运用辅助角公式，将括号内的三角函数式合成单弦型： 得 $\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$。 代入可得模的平方解析式为： 得 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=5+2\times 2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=5+4\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$。

因为 $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$，由（1）可知新相角的取值范围为： 得 $-\frac{\pi }{6}<\theta +\frac{\pi }{3}<\frac{5\pi }{6}$。 在此范围内，当 $\theta +\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$（即 $\theta =\frac{\pi }{6}\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$）时，正弦函数取得最大值 1： 得 $\sin {\left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)}_{\text{max}}=1$。

此时，模的平方取得最大值： 得 $|\vec{a}+\vec{b}{|}_{\text{max}}^2=5+4\times 1=9$。 对两边开平方，可得目标模长的最大值为： 得 $|\vec{a}+\vec{b}{|}_{\text{max}}=\sqrt{9}=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量垂直的坐标积条件（$x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$）、辅助角公式的振幅合成、三角函数在开区间内的最值。
• 核心方法：两角和差合成法、代数化简法。
• 避坑指南：
• 第一问求出范围边界时，注意 $-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}$，切勿心算错误。
• 第二问中由于含有根式，通常先对模长进行平方处理（即算 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$），在最后一步求出 9 后，切记要开方还原为 3，避免由于漏掉开方而误写成 9。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是典型的平面向量与三角恒等变换深度交汇的解答题，通常作为高考解答题的第一道或第二道基础题，旨在考查对工科代数多项式化简的准确度。 结论推广: 对于任意两个向量 $\vec{a}=(\sin \theta ,A)$， $\vec{b}=(B,\cos \theta )$，其和向量模的平方恒满足二次型特征表达式 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=1+A^2+B^2+2(B\sin \theta +A\cos \theta )$，后续通过辅助角公式可统一化为 $1+A^2+B^2+2\sqrt{A^2+B^2}\sin (\theta +\phi )$ 的最值标准形态。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-17 解-三角函数在闭区间上最值
• 2008-湖北文-16 解-三角化一区间最值
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值