2006-全国卷II理-15 填-直线斜率的求解

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系。核心在于利用几何直觉将“劣弧所对圆心角最小”这一动态最值条件转换为“圆心到直线的距离最大”或“直线垂直于已知圆心连线”。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 过点 $(1,\sqrt{2})$ 的直线 $l$ 将圆 $(x-2{)}^2+y^2=4$ 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 $l$ 的斜率 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

从圆的标准方程中求出圆心 $C(2,0)$ 和半径 $R=2$。 设已知定点为 $P(1,\sqrt{2})$。计算点 $P$ 到圆心 $C$ 的距离，验证其满足 $(1-2{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2=1+2=3<4$，说明定点 $P$ 在圆的内部。 关键几何转化：要使直线 $l$ 割圆所得劣弧所对的圆心角 $\theta$ 最小，根据弦长公式 $L=2R\sin \frac{\theta }{2}$，等价于使直线截得的弦长最短。而要使过圆内定点 $P$ 的弦长最短，根据圆的对称性质，该直线必须垂直于经过该定点与圆心的连线 $CP$。 利用垂直直线的斜率乘积等于 $-1$ 的性质，求出连线 $CP$ 的斜率，进而反解出直线 $l$ 的斜率 $k$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：由圆的方程 $(x-2{)}^2+y^2=4$ 可知： 圆心坐标为 $C(2,0)$，半径为 $R=2$。

记已知定点为 $P(1,\sqrt{2})$。 由直线与圆的几何割弦性质可知： 直线 $l$ 截圆所得的劣弧所对圆心角最小 $⟺$ 直线截圆所得的弦长最短。 根据平面几何结论，过圆内定点 $P$ 的所有割弦中，当直线 $l$ 与圆心和该定点的连线 $CP$ 垂直（即 $l\perp CP$）时，圆心到直线的距离最大（等于线段 $CP$ 的长），此时所截得的弦长达到最短。

计算连线 $CP$ 对应的斜率 $k_{CP}$： $k_{CP}=\frac{y_P-y_C}{x_P-x_C}=\frac{\sqrt{2}-0}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{-1}=-\sqrt{2}$

因为直线 $l$ 垂直于直线 $CP$，根据两条直线垂直的斜率关系（ $k\cdot k_{CP}=-1$），可得直线 $l$ 的斜率 $k$ 为： $k=-\frac{1}{k_{CP}}=-\frac{1}{-\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆内定点最短弦的几何垂直性质（$l\perp CP$）、两点求斜率公式、互相垂直的直线斜率乘积为 $-1$ 的充要条件。
• 核心方法：数形结合垂直转换法。
• 避坑指南：
• 必须先通过距离校验确定定点 $P$ 确实在圆的内部。
• 转换逻辑要严密：圆心角最小 $\to$ 对应弦长最短 $\to$ 圆心距最大 $\to$ 直线垂直于心点连线。切勿盲目联立方程使用判别式或三角函数展开，那会使求最值的过程变得极其繁琐。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是解析几何中考查直线与圆相对位置变动最值的经典压轴填空题，重点考查将代数最值向纯几何边界垂直关系转化的能力。 结论推广: 过圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 内任意定点 $P(x_1,y_1)$ 的最短弦所在直线的方程，恒满足以 $\overrightarrow{CP}=(x_1-x_0,y_1-y_0)$ 为法向量的直线点斜式结构。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.03 点与圆的位置关系
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2008-湖南文-14 填-圆平移与切线斜率
• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率