2006-全国卷II理-13 填-二项展开式的通项公式

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式应用，核心在于通过通项公式中自变量的幂指数为零建立方程，从而求解常数项。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 在 ${\left(x^4+\frac{1}{x}\right)}^{10}$ 的展开式中常数项是$\underline{}$. （用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。 将具体数据 $n=10,a=x^4,b=x^{-1}$ 代入通项公式并进行同底数幂的化简。 令 $x$ 的总指数等于 0，求出关键计数项 $r$ 的值，再代入组合数计算系数。

✅【答案】

Success

$45$

✍【详细解析】

Abstract

解：根据二项式定理，二项展开式的通用第 $r+1$ 项通项公式为： $T_{r+1}=C_{10}^r(x^4{)}^{10-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r$ 将分式统一改写为幂函数形式，并合并同底数幂： $T_{r+1}=C_{10}^r{x}^{4(10-r)}\cdot x^{-r}=C_{10}^r{x}^{40-4r-r}=C_{10}^r{x}^{40-5r}$

题目要求求解展开式中的常数项，即该项自变量 $x$ 的指数必须等于 0： $40-5r=0⟹5r=40⟹r=8$

将 $r=8$ 代回通项公式中，可得常数项的值为： $T_9=C_{10}^8=C_{10}^2=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项展开式通项公式（$T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$）、指数幂运算法则。
• 核心方法：指数方程求解法。
• 避坑指南：注意通项公式左侧是第 $r+1$ 项，代入 $r=8$ 算得的是第 9 项，但在计算组合数系数时必须严格使用 $C_{10}^8$，切勿由于笔误写成 $C_{10}^9$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查二项式定理应用的最标准基础填空题，直接源于高二选修“计数原理”章节的课后核心习题。 结论推广: 对于一般形式的二项式 ${\left(x^{\alpha }+\frac{1}{x^{\beta }}\right)}^n$ 展开式，其存在常数项的充要条件是 $\frac{\alpha n}{\alpha +\beta }$ 必须为非负整数，此时常数项对应的组合数足码为 $r=\frac{\alpha n}{\alpha +\beta }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷II理-13 填-二项展开式通项公式常数项
• 2007-天津卷理-11 填-二项展开式通项公式
• 2007-安徽卷理-12 填-二项展开式通项公式