2006-全国卷II理-08 单-对数函数的解析式变形

本题导读

本题考查函数图象关于原点对称的代数特征，以及对数复合函数解析式的推导。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $g(x)={\log }_{2}x$ ($x>0$) 的图象关于原点对称，则 $f(x)$ 的表达式为()

A. $f(x)=\frac{1}{{\log }_{2}x}$ ($x>0$)　　　　　　　B. $f(x)=\frac{1}{{\log }_2(-x)}$ ($x<0$)

C. $f(x)=-{\log }_{2}x$ ($x>0$)　　　　　　　D. $f(x)=-{\log }_2(-x)$ ($x<0$)

🔍【思路分析】

破题导航

设 $y=f(x)$ 图象上的任意一点坐标为 $(x,y)$。 利用关于原点对称的几何性质，求出该点关于原点对称的对应点坐标为 $(-x,-y)$。 由于对称点必在已知函数 $y={\log }_{2}x$ 的图象上，将 $(-x,-y)$ 代入已知解析式，通过变形反解出 $y$ 关于 $x$ 的关系，并确定自变量 $x$ 的新定义域范围。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：设函数 $y=f(x)$ 的图象上任意一点的坐标为 $P(x,y)$。 因为函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $g(x)={\log }_{2}x$ 的图象关于原点对称， 所以点 $P(x,y)$ 关于原点的对称点 $P^{\prime }(-x,-y)$ 必定在函数 $g(x)={\log }_{2}x$ 的图象上。

将点 $P^{\prime }(-x,-y)$ 的横、纵坐标直接代入 $y={\log }_{2}x$ 中，可得： $-y={\log }_2(-x)$ 两边同乘以 $-1$，孤立因变量 $y$： $y=-{\log }_2(-x)$

同时，根据对数函数的定义域，真数必须大于 0： $-x>0⟹x<0$

因此，函数 $f(x)$ 的表达式为 $f(x)=-{\log }_2(-x)$ ($x<0$)。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：关于原点对称的图象变换规律（$f(x)\to -f(-x)$）、复合函数的定义域边界约束。
• 核心方法：动点坐标代换法。
• 避坑指南：
• 变换时不仅要将 $x$ 替换为 $-x$，函数前面的负号（纵坐标变化）同样不能漏掉。
• 注意最终自变量的取值范围由对数真数严格决定， $-x>0⟹x<0$，切勿直接沿用原函数的 $x>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查函数图象对称性代数表达的基础经典小题，旨在考查对平面直角坐标系下轴对称与中心对称代数转换规律的熟练控制。 结论推广: 若函数 $y=h(x)$ 的图象与 $y=\phi (x)$ 关于原点对称，则 $h(x)$ 的解析式必满足恒等式 $h(x)=-\phi (-x)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-08 单-对数运算性质
• 2007-天津卷理-05 单-对数函数指数函数互化