2006-全国卷II理-06 单-反函数的定义域

本题导读

本题考查对数型反函数的具体求解，核心在于通过反解自变量以及原函数的值域精准锁定反函数的对应关系与定义域。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） 已知函数 $f(x)=\ln x+1$ ($x>0$)，则 $f(x)$ 的反函数为()

A. $y={\text{e}}^{x+1}$ ($x\in \mathbf{R}$)　　　　　　　　　　　　B. $y={\text{e}}^{x-1}$ ($x\in \mathbf{R}$)

C. $y={\text{e}}^{x+1}$ ($x>1$)　　　　　　　　　　　D. $y={\text{e}}^{x-1}$ ($x>1$)

🔍【思路分析】

破题导航

令 $y=\ln x+1$，通过移项、指数底数对换，将自变量 $x$ 用含 $y$ 的代数式显式表达。 互换 $x,y$ 字母得到反函数的初步解析式。 求出原函数 $f(x)=\ln x+1$ 在 $x>0$ 时的值域，该值域即为反函数的定义域。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：首先，令 $y=\ln x+1$。 移项得： $\ln x=y-1$ 利用对数与指数的互逆定义，反解出自变量 $x$： $x={\text{e}}^{y-1}$

将自变量 $x$ 与因变量 $y$ 的位置进行互换，得到反函数的解析式为： $y={\text{e}}^{x-1}$

接下来确定反函数的定义域。反函数的定义域即为原函数的值域。 因为原函数的自变量范围为 $x>0$， 根据对数函数图象的基本性质，当 $x\in (0,+\infty )$ 时， $\ln x\in \mathbf{R}$。 所以 $y=\ln x+1\in \mathbf{R}$，即原函数的值域为 $\mathbf{R}$。 由此可得，反函数的定义域为 $x\in \mathbf{R}$。

结合解析式与定义域，对应的反函数为 $y={\text{e}}^{x-1}$ ($x\in \mathbf{R}$)。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对数与指数函数的互逆换底法则、反函数定义域与原函数值域的对等关系。
• 核心方法：反解函数变换法。
• 避坑指南：
• 易错点：误认为对数函数本身有 $x>0$ 限制，就盲目觉得反函数也应当带有一些大于 0 或大于 1 的范围约束，从而错误勾选了 C 或 D。
• 务必时刻牢记：反函数的定义域等同于原函数的值域。由于 $\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 可以取满所有的实数，所以值域是 $\mathbf{R}$，对应的反函数定义域也必须是 $\mathbf{R}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查反函数传统基本解法的经典必考小题，旨在巩固对指数与对数核心互逆几何量转化链条的控制。 结论推广: 对于任意形如 $f(x)={\log }_{a}x+b$ ($x>0,a>0,a\ne 1$) 的函数，其反函数解析式恒为 $y=a^{x-b}$，其定义域恒为整个实数集 $\mathbf{R}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2007-北京文-02 单-反函数定义域
• 2007-北京卷理-02 单-反函数定义域值域映射关系
• 2008-北京文-05 单-受限反函数