2006-全国卷II理-03 单-复数的除法运算性质

本题导读

本题考查复数基本代数多项式的展开以及分式复数的化简运算。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(理)） $\frac{3}{(1-\text{i}{)}^2}=$()

A. $\frac{3}{2}\text{i}$　　　　　　B. $-\frac{3}{2}\text{i}$　　　　　　C. $\text{i}$　　　　　　D. $-\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

优先处理分母的完全平方式，将 $(1-\text{i}{)}^2$ 利用完全平方公式展开。 结合 ${\text{i}}^2=-1$ 简化分母为纯虚数。 利用虚数单位的倒数性质 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$，将分式直接化为最简代数态。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：首先，利用完全平方公式对分母部分进行展开： $(1-\text{i}{)}^2=1^2-2\text{i}+{\text{i}}^2$ 将 ${\text{i}}^2=-1$ 代入上式中简化可得： $(1-\text{i}{)}^2=1-2\text{i}-1=-2\text{i}$

将简化的分母代回原分式中： $\frac{3}{(1-\text{i}{)}^2}=\frac{3}{-2\text{i}}=-\frac{3}{2\text{i}}$

分子与分母同时乘以 $\text{i}$，以消去分母上的虚数单位（或直接利用 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$）： $-\frac{3}{2\text{i}}=-\frac{3\text{i}}{2{\text{i}}^2}=-\frac{3\text{i}}{2\times (-1)}=\frac{3}{2}\text{i}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数常用特值恒等式 $(1-\text{i}{)}^2=-2\text{i}$、分式复数化简。
• 核心方法：分母实数化法。
• 避坑指南：在转化 $-\frac{3}{2\text{i}}$ 时，符号极易由于多步负负得正变乱，务必牢记分母上的 ${\text{i}}^2$ 会额外贡献一个负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查复数乘除法代数运算的传统开篇计算题，旨在保证考生对 ${\text{i}}^2=-1$ 变换律的熟练控制。 结论推广: 在复数代数运算中， 两个常用的完全平方组合公式为 $(1+\text{i}{)}^2=2\text{i}$ 且 $(1-\text{i}{)}^2=-2\text{i}$，熟记此结论可大幅提升复数大块分式的化简速率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-01 单-复数代数形式除法运算
• 2009-新课标Ⅰ文-02 单-复数除法
• 2010-湖南卷文-01 单-复数除法运算