2006-全国卷II文-21 解-二次函数解集与参数

本题导读

本题考查二次函数。核心在于解集与根的联系、含参分类讨论。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 已知 $a\in \mathbf{R}$，二次函数 $f(x)=a{x}^2-2x-2a$．设不等式 $f(x)>0$ 的解集为 $A$，又知集合 $B=\{x\mid 1<x<3\}$．若 $A\cap B\ne \varnothing$，求 $a$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A\cap B\ne \varnothing$ 即存在 $x\in (1,3)$ 使 $f(x)>0$。
2. 分 $a>0$、$a=0$、$a<0$ 讨论。
3. $a=0$ 时 $f(x)=-2x$，在 $(1,3)$ 上恒负，舍去。
4. $a>0$ 时开口向上，需 $f(3)>0$ 或 $\Delta >0$ 且顶点在 $(1,3)$ 内；$a<0$ 时开口向下，需 $f(1)>0$ 或 $f(3)>0$。

✅【答案】

Success

$a\in (-\infty ,-2)\cup \left(\frac{6}{7},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=a{x}^2-2x-2a=a(x^2-2)-2x$． 当 $a=0$ 时，$f(x)=-2x<0$（$x\in (1,3)$），不合题意． 当 $a>0$ 时，$f(x)$ 开口向上，$f(0)=-2a<0$，且 $f(x)=0$ 的两根为 $x=\frac{1\pm \sqrt{1+2a^2}}{a}$（一正一负）． 要使 $A\cap (1,3)\ne \varnothing$，需正根在 $(1,3)$ 内，即 $x_{+}=\frac{1+\sqrt{1+2a^2}}{a}>1$． 由 $f(1)=a-2-2a=-a-2$，$f(3)=9a-6-2a=7a-6$， 开口向上时只要 $f(3)>0$ 即可保证 $(1,3)$ 内有正值，即 $7a-6>0$，$a>\frac{6}{7}$． 当 $a<0$ 时，$f(x)$ 开口向下，$f(0)=-2a>0$，只要 $f(1)>0$ 或 $f(3)>0$ 即可． $f(1)=-a-2>0$ 得 $a<-2$；$f(3)=7a-6>0$ 得 $a>\frac{6}{7}$（与 $a<0$ 矛盾，舍）． 故 $a<-2$ 或 $a>\frac{6}{7}$． 综上，$a\in (-\infty ,-2)\cup \left(\frac{6}{7},+\infty \right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数解集与参数

核心方法：$f(x)>0$ 解集 $A$ 与 $(1,3)$ 相交：$a<0$ 时需 $f(1)>0$ 或 $f(3)>0$ 且开口朝下；$a>0$ 时需 $\Delta >0$ 且根在 $(1,3)$ 内；综合 $a\in (-\infty ,-2)\cup \left(\frac{6}{7},+\infty \right)$

避坑指南：二次函数含参讨论 $a$ 的正负；$A\cap B\ne \varnothing$ 转化为 $f(x)$ 在 $(1,3)$ 上有正值，分 $a>0,a<0$ 讨论，别漏 $a<0$ 的情况

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二次函数含参不等式与集合交，考查分类讨论

结论推广: 分 $a>0,a<0$ 讨论，转化为 $f(x)$ 在 $(1,3)$ 上有正值的条件

方法推广: 含参二次函数按开口方向分类，用零点分布或端点值判断

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-江西文-12 单-二次函数恒成立
• 2009-广东卷文-21 解-二次函数零点
• 2015-浙江卷文-20 解-二次函数零点