2006-全国卷II文-19 解-抽检产品的概率

本题导读

本题考查古典概型。核心在于古典概型与对立事件。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 某批产品成箱包装，每箱 $5$ 件，一用户在购进该批产品前先取出 $3$ 箱，再从每箱中任意取出 $2$ 件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有 $0$ 件、$1$ 件、$2$ 件二等品，其余为一等品． （1）求抽检的 $6$ 件产品中恰有一件二等品的概率； （2）若抽检的 $6$ 件产品中有 $2$ 件或 $2$ 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $A_i$ 为第二箱取出 $i$ 件二等品，$B_i$ 为第三箱取出 $i$ 件二等品。
2. 恰有一件二等品来自第二箱或第三箱，分别用组合数计算。
3. 拒绝即 2 件及以上二等品，用对立事件 $1-P(\text{零件})-P(\text{恰一件})$。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{12}{25}$

(2)$\frac{17}{50}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $A_i$ 表示第二箱中取出 $i$ 件二等品（$i=0,1$），$B_i$ 表示第三箱中取出 $i$ 件二等品（$i=0,1,2$）． （1）恰有一件二等品，即第二箱取 1 件且第三箱取 0 件，或第二箱取 0 件且第三箱取 1 件，故 $P=\frac{C_1^1{C}_4^1}{C_5^2}\cdot \frac{C_3^2}{C_5^2}+\frac{C_4^2}{C_5^2}\cdot \frac{C_2^1{C}_3^1}{C_5^2}$ $=\frac{4}{10}\times \frac{3}{10}+\frac{6}{10}\times \frac{6}{10}=\frac{12}{100}+\frac{36}{100}=\frac{48}{100}=\frac{12}{25}$． （2）抽检 6 件中零件二等品的概率为 $P_0=\frac{C_4^2}{C_5^2}\cdot \frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{6}{10}\times \frac{3}{10}=\frac{18}{100}$． 故拒绝购买的概率 $=1-P_0-P(\text{恰一件})=1-\frac{18}{100}-\frac{48}{100}=\frac{34}{100}=\frac{17}{50}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抽检产品的概率

核心方法：恰有一件二等品：$P=\frac{C_2^1{C}_3^1}{C_5^2}\cdot \frac{C_3^2}{C_5^2}+\frac{C_2^2}{C_5^2}\cdot \frac{C_2^1{C}_3^1}{C_5^2}=\frac{12}{25}$；拒绝概率 $=1-P(\text{至多一件})=\frac{17}{50}$

避坑指南：各箱独立抽取相乘；恰有一件分两箱来源相加；拒绝即 2 件及以上，用对立事件，注意别漏掉某箱来源

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 古典概型与分层抽样背景下的概率计算，应用题

结论推广: 分箱独立抽取，用组合数计算，注意至多至少用对立事件

方法推广: 概率应用题先分解事件，复杂概率用对立事件简化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-19 解-射击独立事件概率
• 2008-重庆文-18 解-独立重复试验概率
• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件