2006-全国卷II文-15 填-直线与圆劣弧圆心角

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及圆心角与弦心距。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 过点 $(1,\sqrt{2})$ 的直线 $l$ 将圆 $(x-2{)}^2+y^2=4$ 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 $l$ 的斜率 $k=$____．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆 $(x-2{)}^2+y^2=4$ 的圆心 $C(2,0)$，半径 $r=2$。
2. 劣弧所对圆心角最小即弦长最短，等价于弦心距最大。
3. 弦心距最大时直线 $l$ 垂直于圆心 $C$ 与定点 $P(1,\sqrt{2})$ 的连线。
4. $k_{CP}=\frac{\sqrt{2}-0}{1-2}=-\sqrt{2}$，故 $k=-\frac{1}{k_{CP}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $(x-2{)}^2+y^2=4$ 的圆心为 $C(2,0)$，半径 $r=2$，定点 $P(1,\sqrt{2})$ 在圆内． 劣弧所对的圆心角最小，即弦 $AB$ 最短，此时圆心到直线 $l$ 的距离（弦心距）最大． 弦心距最大当且仅当直线 $l$ 垂直于 $CP$． $k_{CP}=\frac{\sqrt{2}-0}{1-2}=-\sqrt{2}$，故 $l$ 的斜率 $k=-\frac{1}{k_{CP}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆劣弧圆心角

核心方法：圆心 $C(2,0)$，半径 $2$；劣弧圆心角最小等价于弦心距最大，即直线垂直于 $CP$（$P(1,\sqrt{2})$），$k=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：劣弧所对圆心角最小即直线离圆心最远，直线垂直于圆心与定点的连线；$CP$ 斜率 $\frac{\sqrt{2}-0}{1-2}=-\sqrt{2}$，故 $l$ 斜率 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 直线与圆相交，劣弧圆心角最值问题

结论推广: 劣弧圆心角最小即弦心距最大，直线与圆心到定点连线垂直

方法推广: 圆的弦长、圆心角问题化归为弦心距，结合点到直线距离公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-15 填-圆的对称与弦长
• 2009-陕西卷文-04 单-直线与圆弦长
• 2010-四川卷文-14 填-直线与圆弦长