2006-全国卷II文-11 单-抛物线上点求切线

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及抛物线的切线。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 过点 $(-1,0)$ 作抛物线 $y=x^2+x+1$ 的切线，则其中一条切线为()

A. $2x+y+2=0$　　　B. $3x-y+3=0$　　　C. $x+y+1=0$　　　D. $x-y+1=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=2x+1$，设切点为 $(t,t^2+t+1)$，切线斜率 $2t+1$。
2. 切线方程 $y-(t^2+t+1)=(2t+1)(x-t)$，化简为 $y=(2t+1)x+1-t^2$。
3. 代入 $(-1,0)$：$0=-(2t+1)+1-t^2$，即 $t^2+2t=0$，$t=0$ 或 $-2$。
4. $t=0$ 时切线 $y=x+1$，即 $x-y+1=0$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设切点为 $(t,t^2+t+1)$，由 $y^{\prime }=2x+1$ 得切线斜率 $2t+1$， 切线方程为 $y-(t^2+t+1)=(2t+1)(x-t)$，即 $y=(2t+1)x+1-t^2$． 因切线过 $(-1,0)$，代入得 $0=-(2t+1)+1-t^2$，即 $t^2+2t=0$，解得 $t=0$ 或 $t=-2$． 当 $t=0$ 时，切线为 $y=x+1$，即 $x-y+1=0$； 当 $t=-2$ 时，切线为 $y=-3x-3$，即 $3x+y+3=0$（不在选项中）． 故其中一条切线为 $x-y+1=0$． 【注】答案册此题标注为 C（$x+y+1=0$），系排印错误；$x+y+1=0$ 即 $y=-x-1$，与抛物线 $y=x^2+x+1$ 联立得 $x^2+2x+2=0$（$\Delta =-4<0$）无交点，不是切线。正确切线为 $x-y+1=0$（选 D），历年试题汇编及百度文库、道客巴巴详解均作 D． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线上点求切线

核心方法：设切点 $(t,t^2+t+1)$，切线 $y=(2t+1)x+1-t^2$ 过 $(-1,0)$ 得 $t^2+2t=0$，$t=0$ 时切线 $y=x+1$

避坑指南：切线方程用切点斜率 $2t+1$ 与切点坐标写出，再代入定点求 $t$；$t=0$ 对应 $x-y+1=0$，答案册误标 C 应为 D

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 过定点作抛物线切线，考查切线方程与根的讨论

结论推广: 设切点用斜率写切线方程，代入定点解出切点

方法推广: 切线问题设切点，用导数斜率写切线方程，是圆锥曲线切线的通法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-04 单-切线倾斜角
• 2008-陕西文-21 解-抛物线切线与向量垂直
• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线