2006-全国卷II文-10 单-换元法求函数解析式

本题导读

本题考查二倍角公式，以及换元法求解析式。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 若 $f(\sin x)=3-\cos 2x$，则 $f(\cos x)=$()

A. $3-\cos 2x$　　　　　B. $3-\sin 2x$　　　　　C. $3+\cos 2x$　　　　　D. $3+\sin 2x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$，故 $f(\sin x)=3-(1-2{\sin }^{2}x)=2+2{\sin }^{2}x$。
2. 令 $t=\sin x$，得 $f(t)=2+2t^2$。
3. 故 $f(\cos x)=2+2{\cos }^{2}x=2+(1+\cos 2x)=3+\cos 2x$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$，得 $f(\sin x)=3-\cos 2x=3-(1-2{\sin }^{2}x)=2+2{\sin }^{2}x$． 令 $t=\sin x$，则 $f(t)=2+2t^2$， 故 $f(\cos x)=2+2{\cos }^{2}x=2+(1+\cos 2x)=3+\cos 2x$． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：换元法求函数解析式

核心方法：$f(\sin x)=3-\cos 2x=2+2{\sin }^{2}x$，令 $t=\sin x$ 得 $f(t)=2+2t^2$，故 $f(\cos x)=2+2{\cos }^{2}x=3+\cos 2x$

避坑指南：把 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ 代入统一为 $\sin x$ 的函数；换元后回代 $\cos x$，别把 $\sin$ 与 $\cos$ 混淆

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 复合函数解析式的求解，考查换元思想

结论推广: 把已知条件统一为同一自变量的函数式，换元求解析式

方法推广: $f(g(x))$ 已知求 $f(u)$，用换元令 $u=g(x)$ 反解再代入

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-10 填-二倍角最小值
• 2010-大纲Ⅱ文-03 单-诱导二倍角求值
• 2011-新课标Ⅰ文-07 单-二倍角余弦