2006-全国卷II文-04 单-关于原点对称求解析式

本题导读

本题考查函数图象的对称变换，以及函数解析式。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 如果函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=3-2x$ 的图象关于坐标原点对称，则 $y=f(x)$ 的表达式为()

A. $y=2x-3$　　　　B. $y=2x+3$　　　　C. $y=-2x+3$　　　　D. $y=-2x-3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $f(x)$ 上一点为 $(X,Y)$。
2. 它关于原点的对称点 $(-X,-Y)$ 在 $y=3-2x$ 上。
3. 故 $-Y=3-2(-X)=3+2X$，即 $Y=-2X-3$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设 $(X,Y)$ 是 $y=f(x)$ 图象上任意一点，则它关于原点的对称点 $(-X,-Y)$ 在 $y=3-2x$ 的图象上， 故 $-Y=3-2(-X)=3+2X$，即 $Y=-2X-3$． 所以 $f(x)=-2x-3$． 【注】答案册此题标注为 A（$y=2x-3$），系排印错误；关于原点对称应同时变号 $x$ 与 $y$，正确结果为 $y=-2x-3$（选 D），历年试题汇编及百度文库详解均作 D． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：关于原点对称求解析式

核心方法：设 $f(x)$ 上点 $(X,Y)$，其关于原点对称点 $(-X,-Y)$ 在 $y=3-2x$ 上，得 $-Y=3+2X$，即 $Y=-2X-3$

避坑指南：关于原点对称 $(x,y)\to (-x,-y)$，代入时注意变号：$y=3-2x$ 变 $y=-2x-3$，别只变 $x$ 或只变 $y$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 图象对称求函数解析式，考查对称变换的坐标语言

结论推广: 点 $(x,y)$ 关于原点对称得 $(-x,-y)$，代回原解析式解出 $y$

方法推广: 对称变换统一用对称点的坐标关系代入，避免记混 $x$ 轴、$y$ 轴与原点三种对称

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-04 单-奇函数图象对称
• 2009-大纲Ⅱ文-03 单-对数函数奇偶对称
• 2009-新课标Ⅰ文-05 单-圆关于直线对称