2006-全国卷I理-20 解-基本不等式与最值求解

本题导读

本题考查椭圆标准方程的求解、切线方程的推导、动点轨迹方程以及向量模的最值问题。核心在于利用动点 $P$ 表达切线截距，并通过向量关系转化为关于 $P$ 点坐标的代数式，最终结合基本不等式求解最值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，有一个以 $F_1(0,-\sqrt{3})$ 和 $F_2(0,\sqrt{3})$ 为焦点，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 $C$，动点 $P$ 在 $C$ 上， $C$ 在点 $P$ 处的切线与 $x,y$ 轴的交点分别为 $A,B$，且向量 $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$. 求：

(1) 点 $M$ 的轨迹方程；

(2) $\left|\overrightarrow{OM}\right|$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：由焦点在 $y$ 轴上知 $c=\sqrt{3}$，结合离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 求出 $a,b$，写出椭圆标准方程。设 $P(x_0,y_0)$，利用导数或公式写出椭圆在点 $P$ 处的切线方程 $\frac{x_{0}x}{b^2}+\frac{y_{0}y}{a^2}=1$。求出 $A,B$ 的坐标，利用 $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 得到 $M$ 的坐标关于 $x_0,y_0$ 的表达式，再代入椭圆方程消去 $x_0,y_0$ 得到 $M$ 的轨迹方程。 第二问：将 ${\left|\overrightarrow{OM}\right|}^2$ 表示为关于 $x_0,y_0$ 的代数分式。利用椭圆方程中的恒等关系进行代换缩元，结合基本不等式求出其最小值。

✅【答案】

Success

（1）$\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=1(x>1,y>2)$；

（2）$3$。

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）设椭圆方程为 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)。 由已知焦点为 $F_1(0,-\sqrt{3})$， $F_2(0,\sqrt{3})$，则 $c=\sqrt{3}$。 因为离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $a=2$。 则 $b^2=a^2-c^2=4-3=1$。 故椭圆方程为 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$。 因为曲线 $C$ 是椭圆在第一象限的部分，设动点 $P(x_0,y_0)$，则满足： $x_0^2+\frac{y_0^2}{4}=1(0<x_0<1,0<y_0<2)\text{(1)}$

根据椭圆在点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程公式，曲线 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程为： $x_{0}x+\frac{y_{0}y}{4}=1$

令 $y=0$，解得 $x=\frac{1}{x_0}$，即 $A\left(\frac{1}{x_0},0\right)$； 令 $x=0$，解得 $y=\frac{4}{y_0}$，即 $B\left(0,\frac{4}{y_0}\right)$。

因为 $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，且 $O$ 为原点，设 $M(x,y)$，则： $(x,y)=\left(\frac{1}{x_0},0\right)+\left(0,\frac{4}{y_0}\right)=\left(\frac{1}{x_0},\frac{4}{y_0}\right)$ 从而有： $x_0=\frac{1}{x},y_0=\frac{4}{y}$

将 $x_0,y_0$ 代入椭圆方程 ① 中： ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2+\frac{1}{4}{\left(\frac{4}{y}\right)}^2=1⟹\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=1$ 因为 $0<x_0<1,0<y_0<2$，所以 $x>1,y>2$。

故点 $M$ 的轨迹方程为： $\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=1(x>1,y>2)$

（2）由（1）可知， $\overrightarrow{OM}=(x,y)$，则： ${\left|\overrightarrow{OM}\right|}^2=x^2+y^2$ 因为 $\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=1$，利用常数“1”的代换法： ${\left|\overrightarrow{OM}\right|}^2=(x^2+y^2)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}\right)=1+\frac{4x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4=5+\left(\frac{4x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)$

因为 $x>1,y>2$，所以 $\frac{4x^2}{y^2}>0,\frac{y^2}{x^2}>0$。 由基本不等式可得： $\frac{4x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge 2\sqrt{\frac{4x^2}{y^2}\cdot \frac{y^2}{x^2}}=2\sqrt{4}=4$

当且仅当 $\frac{4x^2}{y^2}=\frac{y^2}{x^2}⟹y^4=4x^4⟹y^2=2x^2$ 时，等号成立。 此时： ${\left|\overrightarrow{OM}\right|}^2\ge 5+4=9⟹\left|\overrightarrow{OM}\right|\ge 3$

验证等号成立的条件： 将 $y^2=2x^2$ 代入 $\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}=1$ 中： $\frac{1}{x^2}+\frac{4}{2x^2}=1⟹\frac{3}{x^2}=1⟹x^2=3,y^2=6$ 由于 $x>1,y>2$，取 $x=\sqrt{3},y=\sqrt{6}$。 此时 $x_0=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\in (0,1)$， $y_0=\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\in (0,2)$，完全符合题意。

所以， $\left|\overrightarrow{OM}\right|$ 的最小值为 3.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：焦距焦点在 $y$ 轴上的标准椭圆方程、点 $P$ 处的切线截距式表达、常数“1”代换法求基本不等式最值。
• 核心方法：坐标转移法（通过反解中间变元消元）。
• 避坑指南：
• 第一问中焦点在 $y$ 轴上，写标准方程时注意分母大小： $a^2$ 应该在 $y^2$ 下方，切线公式也应相应写为 $\frac{y_{0}y}{4}+x_{0}x=1$。
• 第二问利用基本不等式后，务必回头校验等号成立时对应的 $x_0,y_0$ 是否在第一象限曲线 $C$ 的指定范围约束之内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是解析几何大题中关于动点轨迹方程求法（相关点法/代入法）以及代数最值优化组合的压轴题构型。 结论推广: 对于一般椭圆 $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$ 上的第一象限切线，与轴交点构成矩形对角线顶点 $M$ 的轨迹方程恒为 $\frac{b^2}{x^2}+\frac{a^2}{y^2}=1$；其对应的距离原点最小距离满足 ${\left|\overrightarrow{OM}\right|}_{\text{min}}=a+b$。本题中 $a=2,b=1$，其最小值直接对应 $2+1=3$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-22 解-椭圆准线与向量最值
• 2009-福建卷文-22 解-椭圆最值与存在性
• 2011-上海卷文-22 解-椭圆最值与参数范围