2006-全国卷I理-16 填-三角函数的恒等变换

本题导读

本题考查复合余弦函数的求导、辅助角公式的代数合成，以及利用奇函数在原点处的代数特征（或对称特征）确定初相参数。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 复合函数 $f(x)=\cos (\sqrt{3}x+\phi )$ ($0<\phi <\pi$). 若 $f(x)+f^{\prime }(x)$ 是奇函数，则 $\phi =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

根据复合函数求导法则，对 $f(x)=\cos (\sqrt{3}x+\phi )$ 求导，写出 $f^{\prime }(x)$ 的具体表达式。 将 $f(x)$ 与 $f^{\prime }(x)$ 相加，得到组合函数 $g(x)=\cos (\sqrt{3}x+\phi )-\sqrt{3}\sin (\sqrt{3}x+\phi )$。 利用辅助角公式 $A\cos \theta +B\sin \theta =\sqrt{A^2+B^2}\cos (\theta -\psi )$（或正弦形式）将 $g(x)$ 融合成单一的正弦或余弦型复合函数。 根据“ $g(x)$ 是奇函数”的定义，其常数初相部分必须是 $\frac{\pi }{2}$ 的奇数倍（或直接令 $g(0)=0$ 快速反解），再结合 $0<\phi <\pi$ 进行截取。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

解：已知函数 $f(x)=\cos (\sqrt{3}x+\phi )$。 利用复合函数求导法则，对 $f(x)$ 求一阶导数： $f^{\prime }(x)=-\sin (\sqrt{3}x+\phi )\times (\sqrt{3}x+\phi {)}^{\prime }=-\sqrt{3}\sin (\sqrt{3}x+\phi )$

将原函数与其导函数相加，设新组合函数为 $g(x)$： $g(x)=f(x)+f^{\prime }(x)=\cos (\sqrt{3}x+\phi )-\sqrt{3}\sin (\sqrt{3}x+\phi )$

利用辅助角公式进行合成。提取振幅 $\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=2$： $g(x)=2\left[\frac{1}{2}\cos (\sqrt{3}x+\phi )-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (\sqrt{3}x+\phi )\right]$ 利用两角和的正弦公式 $\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha -\beta )$，或两角和的余弦公式化简。此处化为正弦形式较便捷。注意到 $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2},\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$： $g(x)=2\left[\sin \frac{\pi }{6}\cos (\sqrt{3}x+\phi )-\cos \frac{\pi }{6}\sin (\sqrt{3}x+\phi )\right]=2\sin \left[\frac{\pi }{6}-(\sqrt{3}x+\phi )\right]$ $g(x)=-2\sin \left(\sqrt{3}x+\phi -\frac{\pi }{6}\right)$

因为已知 $g(x)=f(x)+f^{\prime }(x)$ 是奇函数，根据奇函数的性质，其图象必关于原点对称。 对于正弦型复合函数 $y=A\sin (\omega x+\theta )$，其为奇函数的充要条件是初相部分满足： $\theta =k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 代入本题的初项部分： $\phi -\frac{\pi }{6}=k\pi ⟹\phi =k\pi +\frac{\pi }{6}(k\in \mathbf{Z})$

(快捷验证法：由于奇函数在 $x=0$ 处有定义，必满足 $g(0)=0⟹-2\sin \left(\phi -\frac{\pi }{6}\right)=0⟹\phi -\frac{\pi }{6}=k\pi$)

因为已知参数范围为 $0<\phi <\pi$，令 $k=0$ 即可解得唯一合法的 $\phi$ 值： $\phi =\frac{\pi }{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复合三角函数求导链式法则（$\cos u$ 求导为 $-\sin u\cdot u^{\prime }$）、辅助角公式的精确移项、正弦型函数为奇数的初相刚性特征。
• 核心方法：导数恒等变形法、奇函数端点测试法（$g(0)=0$）。
• 避坑指南：
• 复合函数求导时千万不要漏掉乘以内层函数 $(\sqrt{3}x+\phi {)}^{\prime }=\sqrt{3}$。
• 合并时注意符号， $\frac{1}{2}\cos u-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin u$ 提取负号变形时，角度差的先后顺序不要颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查微积分基本运算（导数）与经典三角函数图象性质（奇偶性）交汇的综合填空压轴题，重点考查运算耐力。 结论推广: 对于任意正弦（或余弦）型函数 $f(x)=A\cos (\omega x+\phi )$，其与其导函数的线性组合 $f(x)+\frac{1}{\omega }{f}^{\prime }(x)$ 通过辅助角合成后，其总相位移动为一个固定的几何常数 $\frac{\pi }{4}$ 或 $\frac{\pi }{3}$ 级别，其周期性与奇偶性完全由合成后的总初相决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 02.01 常用逻辑用语
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-江苏卷-11 填-三角恒等变换求值
• 2014-新课标Ⅱ文-14 填-三角恒等变换
• 2019-北京卷理-09 填-三角恒等变换