2006-全国卷I理-15 填-特殊元素与特殊位置优先原则

本题导读

本题考查有限制条件的排列计数问题，核心在于合理处理特殊元素（甲、乙）与特殊位置（5月1日、2日）的排斥关系。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有$\underline{}$种. （用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

结构识别：7个人安排在7天，每人一天，本质是全排列问题。 条件约束：5月1日和5月2日这两个特殊位置不能安排甲和乙。 求解策略（位置优先法）：

• 优先安排5月1日和5月2日：从除去甲、乙之外的5名工作人员中任选2人排在这两天，方法数为 $A_5^2$。
• 安排剩余的5天：将剩下的5个人（包含甲、乙）全排列在剩下的5天里，方法数为 $A_5^5$。
• 利用乘法原理相乘求出总数。

✅【答案】

Success

$2400$

✍【详细解析】

Abstract

解：方法一：位置优先原则（直接法） 因为甲、乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日，所以 5 月 1 日和 2 日这两天只能从除甲、乙之外的其余 5 位工作人员中选出 2 人来担任。

1. 优先安排 5 月 1 日和 2 日的值班人员，不同的排列方法共有： $A_5^2=5\times 4=20\text{ 种}$
2. 剩下的 5 天（5月3日至5月7日）由剩下的 5 位工作人员（包含甲、乙）任意进行全排列，不同的安排方法共有： $A_5^5=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\text{ 种}$

根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有： $N=A_5^2\times A_5^5=20\times 120=2400\text{ 种}$

方法二：间接排除法

1. 7 位工作人员任意安排在 7 天的总排列数为： $N_{\text{总}}=A_7^7=5040\text{ 种}$
2. 排除甲在1日或2日，或乙在1日或2日的不合题意数： 利用容斥原理，也可以直接从元素出发： 先从除去1日、2日之外的5天里选出2天给甲、乙安放，方法数为 $A_5^2=20$ 种。其余5人全排列在剩余5天，方法数为 $A_5^5=120$ 种。 $N=A_5^2\times A_5^5=20\times 120=2400\text{ 种}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：有限排斥限制条件的排列组合、分步乘法原理的次序选择。
• 核心方法：特殊位置优先法（或特殊元素优先法）。
• 避坑指南：直接从位置出发最不易出错。切忌先不管限制条件盲目全排列再去胡乱扣除，因为多元素多位置的重叠交叉扣除过程极其复杂且容易重漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查排列组合基本计数原理的经典情境题，源于高二选修“计数原理”章节关于特殊元素优先放置的常规大题变形。 结论推广: 将 $m$ 个特殊元素排除在 $k$ 个特殊位置之外的 $n$ 选 $n$ 的排列总数（其中 $m+k\le n$），其计数公式恒为 $A_{n-m}^k\cdot A_{n-k}^{n-k}=A_{n-m}^k\cdot (n-k)!$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2007-重庆文-15 填-双限制条件排列课表
• 2008-天津文-16 填-卡片排列计数
• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列