2006-全国卷I理-13 填-二面角的平面角求解

本题导读

本题考查正四棱锥体积基本几何量的逆推，以及侧面与底面所成二面角的平面角计算。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线长为 $2\sqrt{6}$，则侧面与底面所成的二面角等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

设正四棱锥为 $S-ABCD$，底面正方形对角线 $AC=2\sqrt{6}$，利用正方形面积公式 $S=\frac{1}{2}{d}^2$ 计算出底面积。 利用正四棱锥的体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h$，结合已知 $V=12$ 逆推出四棱锥的高 $h$。 找出侧面与底面所成二面角的平面角：取底面一条边的中点 $E$，连接顶点与底面中心的直角三角形 $S-O-E$，其中 $\angle SEO$ 即为目标二面角。 计算该直角三角形的直角边，通过正切值求解角度。

✅【答案】

Success

$60^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{3}$）

✍【详细解析】

Abstract

解：设正四棱锥的顶点为 $S$，底面正方形中心为 $O$，高 $SO=h$。 已知底面正方形的对角线长为 $d=2\sqrt{6}$。 根据正方形的面积等于对角线乘积的一半，可求得底面积 $S_{\text{底}}$ 为： $S_{\text{底}}=\frac{1}{2}{d}^2=\frac{1}{2}\times (2\sqrt{6}{)}^2=\frac{1}{2}\times 24=12$

利用正四棱锥的体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h$，将 $V=12,S_{\text{底}}=12$ 代入： $12=\frac{1}{3}\times 12\times h⟹h=3$ 即正四棱锥的高 $SO=3$。

设底面正方形的边长为 $a$，由 $S_{\text{底}}=a^2=12$ 可得 $a=2\sqrt{3}$。 取底面一条边（如 $BC$）的中点 $E$，连接 $SE$ 和 $OE$。 因为四棱锥为正四棱锥，所以 $SO\perp$ 底面 $ABCD⟹SO\perp OE$。 又 $OE\parallel AB$ 且长度等于边长的一半，所以： $OE=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$

因为 $SE\perp BC,OE\perp BC$，所以 $\angle SEO$ 就是侧面与底面所成二面角的平面角。 在直角三角形 $△SOE$ 中， $\angle SOE=90^{\circ }$，其正切值为： $\tan \angle SEO=\frac{SO}{OE}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

由于二面角的平面角 $\angle SEO$ 为锐角，由 $\tan \angle SEO=\sqrt{3}$ 解得： $\angle SEO=60^{\circ }\left(\text{或 }\frac{\pi }{3}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正四棱锥体积公式的基本量逆推、二面角平面角的经典“高-心-边中点”直角三角形构建。
• 核心方法：三线依附直角三角形解法。
• 避坑指南：计算中注意 $OE$ 是底面边长的一半，而不是底面对角线的一半，千万不要将 $OE$ 错算成 $\frac{1}{2}\times 2\sqrt{6}=\sqrt{6}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题属于立体几何大题基本量考查的浓缩版填空题，直接考查对正棱锥中核心垂直特征和直角三角形元素转换的掌握。 结论推广: 在底面边长为 $a$、高为 $h$ 的正四棱锥中，侧面与底面所成二面角 $\theta$ 的正切值满足通式 $\tan \theta =\frac{2h}{a}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-16 填-二面角
• 2009-湖南卷理-14 填-二面角
• 2016-全国卷II理-14 填-二面角