2006-全国卷I理-12 单-排列组合与计数原理

本题导读

本题考查集合子集的选取与计数问题。核心考查通过引入隔离元素作为分类标准，将动态约束下的两个子集选择方案转化为组合数求和。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 设集合 $I=\{1,2,3,4,5\}$. 选择 $I$ 的两个非空子集 $A$ 和 $B$，要使 $B$ 中最小的数大于 $A$ 中最大的数，则不同的选择方法共有()

A. $50$ 种　　　　　B. $49$ 种　　　　　C. $48$ 种　　　　　D. $47$ 种

🔍【思路分析】

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设 $A$ 中最大的数为 $a_{\text{max}}$， $B$ 中最小的数为 $b_{\text{min}}$。题目要求满足 $b_{\text{min}}>a_{\text{max}}$。 引入一个隔离分界点 $k$，使得 $A$ 中的元素全部来自 $\{1,2,\dots ,k\}$，且必包含 $k$； $B$ 中的元素全部来自 $\{k+1,\dots ,5\}$，从而天然保证条件成立。 对 $k$ 的可能取值（ $k=1,2,3,4$）进行分类讨论，分别计算每一类对应的子集 $A$ 与 $B$ 的选法种数，最后利用加法原理求和。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：设集合 $A$ 中最大的数为 $k$。因为 $A,B$ 是非空子集，且满足 $B$ 中最小的数大于 $A$ 中最大的数，所以 $k$ 只能在 $\{1,2,3,4\}$ 中取值（若 $k=5$，则没有比 5 更大的数留给 $B$ 构成非空子集）。

针对 $k$ 的取值进行分类计数：

• 情况 1： $k=1$，即 $A$ 中最大的数是 1。

• 集合 $A$ 的元素必须从 $\{1\}$ 中选取且必须包含 1，故 $A$ 只有 1 种选法： $\{1\}$。

• 集合 $B$ 的元素必须从 $\{2,3,4,5\}$ 中选取，且 $B$ 非空。这相当于求 4 个元素集合的非空子集个数，选法有 $2^4-1=15$ 种。

• 此类选择方法共有： $1\times 15=15$ 种。

• 情况 2： $k=2$，即 $A$ 中最大的数是 2。

• 集合 $A$ 必须包含 2，其余元素可从 $\{1\}$ 中选或不选，选法有 $2^1=2$ 种（即 $\{2\},\{1,2\}$）。

• 集合 $B$ 的元素必须从 $\{3,4,5\}$ 中选取且非空，选法有 $2^3-1=7$ 种。

• 此类选择方法共有： $2\times 7=14$ 种。

• 情况 3： $k=3$，即 $A$ 中最大的数是 3。

• 集合 $A$ 必须包含 3，其余元素可从 $\{1,2\}$ 中任意选或不选，选法有 $2^2=4$ 种。

• 集合 $B$ 的元素必须从 $\{4,5\}$ 中选取且非空，选法有 $2^2-1=3$ 种。

• 此类选择方法共有： $4\times 3=12$ 种。

• 情况 4： $k=4$，即 $A$ 中最大的数是 4。

• 集合 $A$ 必须包含 4，其余元素可从 $\{1,2,3\}$ 中任意选或不选，选法有 $2^3=8$ 种。
• 集合 $B$ 的元素必须从 $\{5\}$ 中选取且非空，故 $B$ 只有 1 种选法： $\{5\}$（即 $2^1-1=1$）。
• 此类选择方法共有： $8\times 1=8$ 种。

根据分类加法计数原理，满足题意的不同选择方法共有： $N=15+14+12+8=49\text{ 种}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：非空子集的组合计数公式（$2^n-1$）、特殊边界元素的分类控制原则。
• 核心方法：最大值分类讨论法。
• 避坑指南：
• 计数时千万不能漏掉减去空集的情况，因为题目明确规定 $A,B$ 是非空子集。
• 确定 $A$ 的选法时，最高位元素 $k$ 被锁死必选，其余 $k-1$ 个更小元素每个有“选与不选” 2 种状态，所以 $A$ 的种数是 $2^{k-1}$，不需要再减去 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查集合与排列组合深度交汇的创新压轴选择题，重点考查思维分类的严密性与分步乘法原理的交叉运用。 结论推广: 设全集 $I=\{1,2,\dots ,n\}$。选择两个非空子集满足 $\min (B)>\max (A)$ 的选择方法总数，在高等代数中可通过映射证得其恒等于 $3^n-2^{n+1}+1$。将 $n=5$ 代入该推广公式可得： $3^5-2^6+1=243-64+1=180$，由于此结论包含 $A,B$ 元素无序交叉情况，针对本题独立位置采用前述级数求和 ${\sum }_{k=1}^{n-1}{2}^{k-1}(2^{n-k}-1)$ 是最稳妥的路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2007-四川卷理-10 单-排列组合综合应用
• 2008-天津卷理-10 单-排列组合
• 2008-安徽卷理-12 单-排列组合