2006-全国卷I理-09 单-向量的旋转变换与数乘

本题导读

本题考查平面向量的线性运算法则。通过给定的旋转与数乘变换，探究其对向量线性组合特征的整体保持性。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 设平面向量 ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,{\vec{a}}_3$ 的和 ${\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2+{\vec{a}}_3=\vec{0}$. 如果向量 ${\vec{b}}_1,{\vec{b}}_2,{\vec{b}}_3$ 满足 $|{\vec{b}}_i|=2|{\vec{a}}_i|$，且 ${\vec{a}}_i$ 顺时针旋转 $30^{\circ }$ 后与 ${\vec{b}}_i$ 同向，其中 $i=1,2,3$，则()

A. $-{\vec{b}}_1+{\vec{b}}_2+{\vec{b}}_3=\vec{0}$　　　　　　　　　　B. ${\vec{b}}_1-{\vec{b}}_2+{\vec{b}}_3=\vec{0}$

C. ${\vec{b}}_1+{\vec{b}}_2-{\vec{b}}_3=\vec{0}$　　　　　　　　　　　D. ${\vec{b}}_1+{\vec{b}}_2+{\vec{b}}_3=\vec{0}$

🔍【思路分析】

破题导航

设将任意向量顺时针旋转 $30^{\circ }$ 且模长放大为 2 倍的几何变换为一个统一的线性算子 $T$。 依据条件写出变换关系： ${\vec{b}}_1=T({\vec{a}}_1)$， ${\vec{b}}_2=T({\vec{a}}_2)$， ${\vec{b}}_3=T({\vec{a}}_3)$。 利用平面向量线性变换的齐次性与可加性，将 ${\vec{b}}_1+{\vec{b}}_2+{\vec{b}}_3$ 变形为 $T({\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2+{\vec{a}}_3)$ 并代入零向量求解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意可知，每个向量 ${\vec{b}}_i$ ($i=1,2,3$) 都是由对应的 ${\vec{a}}_i$ 经过相同的几何变换得到的：

• 模长变为原来的 2 倍；
• 方向顺时针旋转 $30^{\circ }$。

在平面向量中，把每个向量都旋转同一个角度、再伸缩同一个倍数，得到的仍是一个”保加法、保数乘”的变换。设这个变换为 $T$，则对任意向量 $\vec{x},\vec{y}$ 及常数 $\lambda$，都有 $T(\vec{x}+\vec{y})=T(\vec{x})+T(\vec{y})$，$T(\lambda \vec{x})=\lambda T(\vec{x})$。

由题意 ${\vec{b}}_1=T({\vec{a}}_1)$、${\vec{b}}_2=T({\vec{a}}_2)$、${\vec{b}}_3=T({\vec{a}}_3)$。把三者相加，用可加性把 $T$ 提到括号外，得 ${\vec{b}}_1+{\vec{b}}_2+{\vec{b}}_3=T({\vec{a}}_1)+T({\vec{a}}_2)+T({\vec{a}}_3)=T({\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2+{\vec{a}}_3)$。

又 ${\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2+{\vec{a}}_3=\vec{0}$，而零向量在任何线性变换下仍为零向量（$T(\vec{0})=\vec{0}$），故 ${\vec{b}}_1+{\vec{b}}_2+{\vec{b}}_3=T(\vec{0})=\vec{0}$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量线性变换的保持性、零向量的算子变换特征。
• 核心方法：整体算子变换法（亦可将平面向量映射到复平面，利用复数乘法 $z_b=2{\text{e}}^{-\frac{\pi }{6}\text{i}}{z}_a$ 进行代数证明）。
• 避坑指南：切勿盲目选取具体的特殊向量画图去凑，这会极大增加思维量。抓住“所有向量对应的旋转角度与放大倍数完全相同”这一全等特征，可直接实现整体式秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是高等数学中“线性空间与线性变换”在中学平面向量性质中的初等渗透，重点考查对映射性质的宏观理解。 结论推广: 若一组平面向量满足 ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{\vec{a}}_i=\vec{0}$，将所有向量整体施加相同的旋转 $\theta$ 与伸缩倍数 $k$ 得到新向量组 ${\vec{b}}_i$，则新向量组也必然保持原线性组合结构，即 ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{\vec{b}}_i=\vec{0}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷II理-05 单-基底思想向量共线定理
• 2007-大纲卷II理-09 单-向量平移代数规律
• 2007-安徽卷理-08 单-空间向量立体几何基本量