2006-全国卷I理-08 单-二次函数的最值

本题导读

本题考查抛物线上的动点到已知直线距离的最小值问题。核心在于通过参数化设点，将几何距离转化为一元二次函数的最值问题。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 抛物线 $y=-x^2$ 上的点到直线 $4x+3y-8=0$ 距离的最小值是()

A. $\frac{4}{3}$　　　　　　　B. $\frac{7}{5}$　　　　　　　C. $\frac{8}{5}$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

方法一（参数设点法）：由于动点在抛物线 $y=-x^2$ 上，可设该动点坐标为 $P(t,-t^2)$。利用点到直线的距离公式列出距离 $d$ 关于参数 $t$ 的代数分式。通过配方法求出分子二次多项式的最小值。 方法二（平行切线法）：当抛物线上的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离最小。利用导数求出斜率为 $-\frac{4}{3}$ 的切点，再用距离公式计算。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：设抛物线 $y=-x^2$ 上的任意动点坐标为 $P(t,-t^2)$，其中 $t\in \mathbf{R}$。 根据点到直线的距离公式，点 $P$ 到直线 $4x+3y-8=0$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|4t+3(-t^2)-8|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|-3t^2+4t-8|}{\sqrt{16+9}}=\frac{|3t^2-4t+8|}{5}$

对分子部分的一元二次多项式进行配方化简： $3t^2-4t+8=3\left(t^2-\frac{4}{3}t\right)+8=3{\left(t-\frac{2}{3}\right)}^2-3\times \frac{4}{9}+8=3{\left(t-\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{20}{3}$

因为对任意实数 $t$，恒有 $3{\left(t-\frac{2}{3}\right)}^2\ge 0$， 所以： $3t^2-4t+8\ge \frac{20}{3}>0$ 可以安全地脱去绝对值符号，距离 $d$ 的表达式为： $d=\frac{3{\left(t-\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{20}{3}}{5}$

显然，当 $t=\frac{2}{3}$ 时，距离 $d$ 取得最小值： $d_{\text{min}}=\frac{\frac{20}{3}}{5}=\frac{20}{3\times 5}=\frac{4}{3}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：点到直线的距离公式（$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$）、二次函数顶点坐标求极值。
• 核心方法：参数方程配方法。
• 避坑指南：化简分式时，注意分母 $\sqrt{4^2+3^2}=5$，最后计算 $\frac{20}{3}÷5$ 时要算对分数除法，避免忙中出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是解析几何中经典的“动点距离最值”问题。其高等数学背景是凸函数与直线的距离优化，高考中常通过二次曲线与直线的组合来考查。 结论推广: 抛物线 $y=a{x}^2+bx+c$ 上所有点到直线 $Ax+By+C=0$ 的最小距离，对应于斜率 $k=-\frac{A}{B}$ 的切点位置，可通过导数公式 $2a{x}_0+b=-\frac{A}{B}$ 快速锁定最值点横坐标。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁文-04 单-量词命题与二次函数最值