2006-全国卷I理-05 单-三角函数的单调区间

本题导读

本题考查复合正切函数的单调增区间求解，核心在于利用整体代换思想套用标准正切函数的单调区间。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 函数 $f(x)=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的单调增区间为()

A. $\left(k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{\pi }{2}\right)$, $k\in \mathbf{Z}$　　　　　　B. $(k\pi ,(k+1)\pi )$, $k\in \mathbf{Z}$

C. $\left(k\pi -\frac{3\pi }{4},k\pi +\frac{\pi }{4}\right)$, $k\in \mathbf{Z}$　　　　　D. $\left(k\pi -\frac{\pi }{4},k\pi +\frac{3\pi }{4}\right)$, $k\in \mathbf{Z}$

🔍【思路分析】

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熟记标准正切函数 $y=\tan \theta$ 的单调增区间为 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ ($k\in \mathbf{Z}$)。 采用“整体代换”思想，令 $\theta =x+\frac{\pi }{4}$，将其代入标准单调增区间。 通过去分母和移项，反解出自变量 $x$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：已知标准正切函数 $y=\tan \theta$ 的单调递增区间为： $-\frac{\pi }{2}+k\pi <\theta <\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$

运用整体代换法，令 $\theta =x+\frac{\pi }{4}$ 代入上式中，可得： $-\frac{\pi }{2}+k\pi <x+\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$

不等式各部分同时减去 $\frac{\pi }{4}$，以孤立自变量 $x$： $\left(-\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)+k\pi <x<\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)+k\pi$ 化简计算常数项可得： $k\pi -\frac{3\pi }{4}<x<k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in \mathbf{Z})$

写成区间形式，对应的单调递增区间为 $\left(k\pi -\frac{3\pi }{4},k\pi +\frac{\pi }{4}\right)$ ($k\in \mathbf{Z}$)。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正切函数单调区间的代数范围、整体法求解复合函数性质。
• 核心方法：整体不等式移项法。
• 避坑指南：注意正切函数的区间是开区间，不能带有等号。移项时 $-\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}$ 的结果为 $-\frac{3\pi }{4}$，切勿由于粗心算错分数的加减法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查三角函数图象与性质的标准基础小题，直接来源于高一必修一“正切函数的图象与性质”章节的经典课后习题。 结论推广: 对于一般形式的函数 $y=\tan (\omega x+\phi )$ ($\omega >0$)，其单调增区间可通过解不等式 $-\frac{\pi }{2}+k\pi <\omega x+\phi <\frac{\pi }{2}+k\pi$ 统一求得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-12 单-三角函数单调增区间
• 2007-大纲卷II理-02 单-三角函数单调区间
• 2007-江苏卷-05 单-三角函数单调区间