2006-全国卷I理-04 单-实数的概念

本题导读

本题考查复数的乘法代数运算以及复数作为实数的充要条件应用。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 如果复数 $(m^2+\text{i})(1+m\text{i})$ 是实数，则实数 $m=$()

A. $1$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $-\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

利用多项式乘法运算法则，将复数乘积式直接展开。 结合 ${\text{i}}^2=-1$，将展开后的复数整理为标准形式 $A+B\text{i}$。 根据“复数为实数”的定义，令虚部 $B=0$，解关于 $m$ 的代数方程。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：将已知复数进行乘法展开： $z=(m^2+\text{i})(1+m\text{i})=m^2\times 1+m^2\times m\text{i}+1\times \text{i}+m{\text{i}}^2$

由于 ${\text{i}}^2=-1$，代入并按实部与虚部进行归类合并： $z=m^2+m^3\text{i}+\text{i}-m=(m^2-m)+(m^3+1)\text{i}$

因为已知该复数 $z$ 是实数，根据复数的概念，其虚部必须等于 0： $m^3+1=0$ 解得： $m^3=-1⟹m=-1$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数代数形式的乘法运算、复数分类（实数、虚数、纯虚数）的边界充要条件。
• 核心方法：代数展开合并法。
• 避坑指南：展开时注意 $m\text{i}\times \text{i}=m{\text{i}}^2=-m$，其符号会转变为实部的负号，切勿漏掉或弄错符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题属于高考复数小题的经典命题构型，重点考查复数基本代数运算的准确度。 结论推广: 复数 $(a+b\text{i})(c+d\text{i})$ 为实数的充要条件是其虚部 $ad+bc=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-江西卷理-01 单-复数四则运算分母实数化