2006-全国卷I理-01 单-集合的交集与并集运算

本题导读

本题考查一元二次不等式与绝对值不等式的解法，以及集合间包含关系的判定。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） 设集合 $M=\{x\mid x^2-x<0\}$，$N=\{x\mid |x|<2\}$，则()

A. $M\cap N=\varnothing$　　　　B. $M\cap N=M$　　　　C. $M\cup N=M$　　　　D. $M\cup N=\mathbf{R}$

🔍【思路分析】

破题导航

解一元二次不等式 $x^2-x<0$ 化简集合 $M$。 解绝对值不等式 $|x|<2$ 化简集合 $N$。 对比两集合的区间范围，确定包含关系，进而判定交集和并集的结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：对于集合 $M$，由 $x^2-x<0⟹x(x-1)<0$，解得 $0<x<1$。 所以 $M=(0,1)$。

对于集合 $N$，由 $|x|<2$，解得 $-2<x<2$。 SO以 $N=(-2,2)$。

显然， $(0,1)\subseteq (-2,2)$，即 $M\subseteq N$。 根据集合运算性质，当 $M\subseteq N$ 时， $M\cap N=M$， $M\cup N=N$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：一元二次不等式与绝对值不等式的初等解法、集合包含关系的定义。
• 核心方法：数轴区间对照法。
• 避坑指南：解 $x^2-x<0$ 时注意两根为 $0$ 和 $1$，切勿因粗心漏掉两根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题属于高考开篇的第一道集合基础题，直接源自高一必修一“集合的基本运算”及“不等式解法”的课后基础习题组合。 结论推广: 对于任意两有限区间集合，若满足 $A\subseteq B$，则必有 $A\cap B=A$ 且 $A\cup B=B$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-01 单-集合的交集运算
• 2007-辽宁卷理-01 单-集合交集运算
• 2007-重庆文-02 单-集合补集与交集