2006-上海卷理-20 解-命题的逆命题与真伪判定

本题导读

本题考查直线与抛物线的位置关系及常用逻辑用语。第一问设出过定点 $T(3,0)$ 的直线，联立抛物线方程后利用韦达定理计算向量数量积定值；第二问写出其逆命题，并高度提防直线斜率不存在或不唯一的临界状态，通过严密的坐标关系判定逆命题的真伪。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 与抛物线 $y^2=2x$ 相交于 $A、B$ 两点.

(1) 求证：“如果直线 $l$ 过点 $T(3,0)$，那么 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=3$”是真命题；

(2) 写出 (1) 中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：若直线 $l$ 过点 $T(3,0)$。由于直线与抛物线交于两点，直线的斜率显然不能为 0（斜率为 0 时水平线与抛物线只有一个交点）。可设直线 $l$ 的方程为 $x=my+3$。代入抛物线方程 $y^2=2x$ 中消去 $x$，利用韦达定理写出 $y_1+y_2$ 和 $y_1{y}_2$。再将向量数量积写为坐标形式 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$，代入化简证得其为 3。 第二问：首先写出逆命题：“如果直线 $l$ 使得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=3$，那么直线 $l$ 过点 $T(3,0)$”。判断真伪时，由于条件只给出了数量积定值，直线的斜率可能存在或不存在，需要更具一般性地设直线方程（如 $x=my+b$）联立，由数量积为 3 反解常数项 $b$。若解出 $b=3$ 恒成立，则为真命题；若存在其他非定点直线分支，则为假命题。

✅【答案】

Success

由于存在 $b=-1$ 这一组完全合法的交点直线分支，逆命题无法必然推出直线过点 $T(3,0)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：设直线 $l$ 与抛物线的交点坐标为 $A(x_1,y_1)$， $B(x_2,y_2)$。 若直线 $l$ 过点 $T(3,0)$，由于直线与抛物线 $y^2=2x$ 相交于两点，故直线 $l$ 的斜率显然不为 0。 可设直线 $l$ 的方程为： $x=my+3$ 将直线方程代入抛物线方程 $y^2=2x$ 中： $y^2=2(my+3)⟹y^2-2my-6=0$ 因为该一元二次方程对应的判别式 $\Delta =(-2m{)}^2-4\times 1\times (-6)=4m^2+24>0$ 恒成立，直线与抛物线恒有两个互异交点。 根据根与系数的关系（韦达定理）： $y_1+y_2=2m,y_1{y}_2=-6$

根据平面向量数量积的坐标运算公式，由于 $A,B$ 在直线 $x=my+3$ 上： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=(m{y}_1+3)(m{y}_2+3)+y_1{y}_2$ $=m^2{y}_1{y}_2+3m(y_1+y_2)+9+y_1{y}_2=(m^2+1)y_1{y}_2+3m(y_1+y_2)+9$ 将韦达定理代入上式中： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=(m^2+1)(-6)+3m(2m)+9=-6m^2-6+6m^2+9=3$ 代数消元后其值恒为常数 3。 所以，“如果直线 $l$ 过点 $T(3,0)$，那么 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=3$”是真命题。

(2) 解：(1) 中命题的逆命题为： “在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 与抛物线 $y^2=2x$ 相交于 $A、B$ 两点，如果 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=3$，那么直线 $l$ 过点 $T(3,0)$.”

该逆命题是一个真命题。理由如下：

设直线 $l$ 的方程为 $x=my+b$ 或 $x=b$（由于交于两点，直线不与 $x$ 轴平行，故可统一合并设为 $x=my+b$）。 将 $x=my+b$ 代入抛物线方程 $y^2=2x$ 中： $y^2=2(my+b)⟹y^2-2my-2b=0$ 因为直线与抛物线有两个交点，方程必有两相异实根，满足判别式： $\Delta =4m^2+8b>0\text{(1)}$ 根据韦达定理： $y_1+y_2=2m,y_1{y}_2=-2b$

已知条件给定 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=3$，代入坐标乘积展开式： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=(m{y}_1+b)(m{y}_2+b)+y_1{y}_2$ $=m^2{y}_1{y}_2+bm(y_1+y_2)+b^2+y_1{y}_2=(m^2+1)y_1{y}_2+bm(y_1+y_2)+b^2$ 将韦达定理代入该特征等式中： $(m^2+1)(-2b)+bm(2m)+b^2=3$ $-2b{m}^2-2b+2b{m}^2+b^2=3$ 化简合并同类项，得到关于常数项 $b$ 的一元二次方程： $b^2-2b-3=0$ 因式分解得： $(b-3)(b+1)=0⟹b=3\text{或}b=-1$

下面代入判别式限制 ① 进行检验：

• 当 $b=3$ 时， $\Delta =4m^2+24>0$ 恒成立，此时直线方程为 $x=my+3$，直线恒过定点 $T(3,0)$；
• 当 $b=-1$ 时， $\Delta =4m^2-8$。只要选取的斜率满足 $4m^2-8>0⟹m^2>2$，直线与抛物线同样有两个交点。此时直线方程为 $x=my-1$，这条直线并不经过点 $T(3,0)$。 (例如：取 $m=2⟹x=2y-1$，联立解得两交点为 $(1,1)$ 和 $\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{2}\right)$。计算数量积： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=1\times \frac{1}{4}+1\times \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\ne 3$，抱歉，校对乘积展开式： $x_1{x}_2+y_1{y}_2=1\times \frac{1}{4}+1\times (-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$？不对，重新联立： $y^2-4y+2=0⟹y_1{y}_2=2$，与前式 $b=-1⟹y_1{y}_2=2$ 吻合。计算 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=(2y_1-1)(2y_2-1)+y_1{y}_2=5y_1{y}_2-2(y_1+y_2)+1=5(2)-2(4)+1=10-8+1=3$，完全契合数量积为 3。但此时直线 $x=2y-1$ 显然不过 $(3,0)$)

综上所述，由于存在 $b=-1$ 这一组完全合法的交点直线分支，逆命题无法必然推出直线过点 $T(3,0)$。 因此，该逆命题是一个假命题。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直线方程设为横截式 $x=my+b$ 避免丢失斜率不存在的分支、平面向量坐标点积与一元二次方程韦达定理的深度融合、逆命题真伪的反例验证。
• 核心方法：横截式联立代数法。
• 避坑指南：
• 第二问极易因为因式分解出 $b=3$ 就想当然地判定逆命题为真，从而彻底漏掉 $b=-1$ 这个合法隐藏分支，这是该题最大的扣分陷阱。
• 必须牢记：只要能找到一个反例（如直线 $x=2y-1$ 满足积为 3 但不过 $(3,0)$），该命题在逻辑上即被一票否决定义为假命题。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查解析几何中“定点与定值”双向推导最经典的解析压轴题。 结论推广: 针对任何抛物线 $y^2=2px$， 直线交其于 $A,B$ 两点。若直线过定点 $(x_0,0)$，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_0(x_0-2p)$ 恒为定值。反之，若给定数量积为定值，其对应的直线的截距边界必然呈现双解对称分布。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2007-江苏卷-19 解-抛物线切线与中点弦
• 2008-陕西文-21 解-抛物线切线与向量垂直