2006-上海卷理-18 解-正弦定理解内角

本题导读

本题考查解三角形在航海方位角问题中的实际应用。核心在于根据给定的方位和距离将实际问题抽象为非直角三角形 $ABC$，利用余弦定理求出未知边 $BC$，再通过正弦定理和方位角转换求出最终的航向角。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 如图，当甲船位于 $A$ 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 $B$ 处有一艘渔船遇险等待营救. 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 $30^{\circ }$，相距 10 海里 $C$ 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 $B$ 处救援？（角度精确到 $1^{\circ }$）

🔍【思路分析】

破题导航

确定三角形的已知几何量：在 $△ABC$ 中：

• 边长 $AB=20$ 海里；
• 边长 $AC=10$ 海里；
• 夹角 $\angle CAB$：因为 $B$ 在 $A$ 的正东， $C$ 在 $A$ 的南偏西 $30^{\circ }$。由正东与正南成 $90^{\circ }$ 可知， $\angle CAB=90^{\circ }+30^{\circ }=120^{\circ }$。 应用余弦定理求 $BC$：已知两边及夹角，套用余弦定理公式 $B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2-2AC\cdot AB\cos \angle CAB$ 算出 $BC$ 的距离。 应用正弦定理求内角 $\angle ACB$：由 $\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{BC}{\sin \angle CAB}$ 求解 $\sin \angle ACB$ 的值，并结合计算器求出 $\angle ACB$ 的近似度数。 转化为方位角（北偏东）：在 $C$ 点构筑南北方向平行线，利用内错角或几何关系将内角 $\angle ACB$ 换算为标准的北偏东方位角。

✅【答案】

Success

乙船应朝北偏东 $71^{\circ }$ 的方向沿直线前往 $B$ 处救援．

✍【详细解析】

Abstract

解：在 $△ABC$ 中，由题意可知已知几何特征量如下： $AB=20,AC=10$ 因为 $B$ 在 $A$ 的正东方向， $C$ 在 $A$ 的南偏西 $30^{\circ }$ 方向， 所以，两条航线线段的夹角为： $\angle CAB=90^{\circ }+30^{\circ }=120^{\circ }$

在 $△ABC$ 中，根据余弦定理公式，求解乙船到遇险渔船的直线距离 $BC$： $B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2-2AC\cdot AB\cdot \cos \angle CAB$ 代入已知边长与特殊角数值（ $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$）： $B{C}^2=10^2+20^2-2\times 10\times 20\times \cos 120^{\circ }$ $B{C}^2=100+400-400\times \left(-\frac{1}{2}\right)=500+200=700$ 两边开平方求得： $BC=\sqrt{700}=10\sqrt{7}\text{ 海里}$

在 $△ABC$ 中，根据正弦定理公式求解内角 $\angle ACB$ 的正弦值： $\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{BC}{\sin \angle CAB}⟹\sin \angle ACB=\frac{AB\cdot \sin \angle CAB}{BC}$ 代入已知数值（ $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$）： $\sin \angle ACB=\frac{20\times \sin 120^{\circ }}{10\sqrt{7}}=\frac{20\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{10\sqrt{7}}=\frac{10\sqrt{3}}{10\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$

利用计算器对正弦函数求反函数（或查表）： $\sin \angle ACB=\frac{\sqrt{21}}{7}\approx \frac{4.5826}{7}\approx 0.6547⟹\angle ACB\approx 40.89^{\circ }$

下面将该内角转换为以 $C$ 点为基准的北偏东方位角。 过点 $C$ 作一条指北的射线 $CN$，过点 $A$ 作指南的射线 $AS$。则有水平线平行 $CN\parallel AS$。 因为 $C$ 在 $A$ 的南偏西 $30^{\circ }$ 方向 $⟹\angle CAS=30^{\circ }$。 根据两平行线内错角相等的几何定理： $\angle ACN=\angle CAS=30^{\circ }$

由方向关系可知，射线 $CA$ 位于 $CN$ 与 $CB$ 之间，故航线 $CB$ 与正北方向 $CN$ 的夹角为 $\angle BCN=\angle ACB+\angle ACN\approx 40.89^{\circ }+30^{\circ }=70.89^{\circ }$ 题目要求精确到 $1^{\circ }$，四舍五入取整得 $\angle BCN\approx 71^{\circ }$ 即乙船应朝北偏东 $71^{\circ }$ 的方向沿直线前往 $B$ 处救援．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：由方位叙述构造非直角三角形夹角（$\angle CAB=90^{\circ }+30^{\circ }=120^{\circ }$）、余弦定理求第三边、正弦定理求角、平行线内错角变换方位。
• 核心方法：几何建模法。
• 避坑指南：
• 第一步确定 $\angle CAB$ 时极其容易出错，一定要画出标准的十字东西南北坐标轴，明确正东到正南是 $90^{\circ }$，再加上南偏西的 $30^{\circ }$，合起来是 $120^{\circ }$。
• 最终反解出来的 $\angle ACB\approx 41^{\circ }$ 是三角形的内角，绝不能直接当作方位角回答。必须在 $C$ 点重新画出南北方位线，利用内错角减去 $30^{\circ }$ 的初始偏差，才能化为正确的“北偏东”航向角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查解三角形在实际测量与航海定位中应用的标准解答题。旨在考查将实际文字信息向标准几何代数语言无损翻译的能力。 结论推广: 针对所有涉及双船救援、基线测距的平面几何模型， 其底层逻辑恒为：已知两定点到站点的距离与初始夹角，通过“先余弦求通径边，后正弦求修正角”的二级串联运算完成对全解空间的锁定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定
• 11.02 余弦定理
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷理-17 解-解三角形
• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形