2006-上海卷理-15 单-集合的属于关系

本题导读

本题考查含参数的不等式求解及元素与集合的关系。核心在于将自变量 $x$ 的项系数化简，通过研究关于参数 $k$ 的代数不等式上界，判定常数 2 与 0 是否恒在解集集合 $M$ 内。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 若关于 $x$ 的不等式 $(1+k^2)x\le k^4+4$ 的解集是 $M$，则对任意实常数 $k$，总有()

A. $2\in M,0\in M$　B. $2\notin M,0\notin M$　C. $2\in M,0\notin M$　D. $2\notin M,0\in M$

🔍【思路分析】

破题导航

解出不等式：因为对任意实数 $k$， 恒有 $k^2\ge 0⟹1+k^2\ge 1>0$。因此可以直接两边同除以 $(1+k^2)$，得解集 $M=\left\{x|x\le \frac{k^4+4}{1+k^2}\right\}$。 研究解集边界最值：设 $g(k)=\frac{k^4+4}{k^2+1}$。只需通过代数变形或均值不等式求出 $g(k)$ 的最小值。 判定常数隶属度：若 $\min [g(k)]\ge c$，则常数 $c$ 必然恒落在解集 $x\le g(k)$ 内，即 $c\in M$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：因为对任意实常数 $k\in \mathbf{R}$， 恒有 $k^2\ge 0⟹1+k^2>0$。 所以在不等式 $(1+k^2)x\le k^4+4$ 两边同时除以正数 $(1+k^2)$，不等号方向保持不变： $x\le \frac{k^4+4}{k^2+1}$ 由此得到解集集合为 $M=\left\{x|x\le \frac{k^4+4}{k^2+1}\right\}$。

为了判定对任意的 $k$，常数 2 和 0 是否总在解集 $M$ 内，只需研究分式代数式 $g(k)=\frac{k^4+4}{k^2+1}$ 的极小值特征。 对分子进行裂项配凑变形： $g(k)=\frac{(k^4-1)+5}{k^2+1}=\frac{(k^2-1)(k^2+1)+5}{k^2+1}=(k^2-1)+\frac{5}{k^2+1}$ 为了便于应用基本不等式，进一步配凑常数： $g(k)=(k^2+1)+\frac{5}{k^2+1}-2$

因为 $k^2+1\ge 1>0$，应用基本不等式 $A+B\ge 2\sqrt{AB}$： $(k^2+1)+\frac{5}{k^2+1}\ge 2\sqrt{(k^2+1)\cdot \frac{5}{k^2+1}}=2\sqrt{5}$ 代回可得： $g(k)\ge 2\sqrt{5}-2$ 因为 $\sqrt{5}\approx 2.236⟹2\sqrt{5}-2\approx 4.472-2=2.472>2$。 由此可知，对任意实数 $k$， 该分式上界恒满足： $\frac{k^4+4}{k^2+1}\ge 2\sqrt{5}-2>2$

既然解集 $M$ 的下限边界值 $\frac{k^4+4}{k^2+1}$ 永远大于 2：

• 对于常数 0：由于 $0<2<\frac{k^4+4}{k^2+1}$ 恒成立，所以 $0\in M$ 恒成立；
• 对于常数 2：由于 $2<\frac{k^4+4}{k^2+1}$ 恒成立，所以 $2\in M$ 亦恒成立。

综上所述，总有 $2\in M$ 且 $0\in M$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：含参一元一次不等式的同除消元、分式多项式裂项配凑基本不等式求最值。
• 核心方法：因式裂项配凑法、下界夹逼法。
• 避坑指南：
• 考场快捷技巧：由于题目要求“对任意实常数 $k$ 均成立”，可以直接取特殊值 $k=0$ 代入原不等式进行快速筛选排除。当 $k=0$ 时，不等式变为 $(1+0)x\le 0+4⟹x\le 4$。此时 $2\in M,0\in M$，可以直接排除 B, C, D 选项，一秒锁定 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查含参不等式恒成立与集合关系的选择题，通过代数式最值分析考查思维的敏捷性。 结论推广: 针对所有形式为 $x\le \frac{k^2\pm A}{k+B}$ 的恒成立属于关系判定， 通用的处理方案均为通过换元法化为单变量对勾函数求出边界极值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2007-广东文-01 单-集合交集与分式不等式
• 2009-上海卷理-16 单-集合