2006-上海卷理-11 填-函数图象无公共点

本题导读

本题考查曲线与直线的交点位置关系。核心在于利用数形结合的思想，准确作出分段绝对值曲线 $y^2=|x|+1$ 的完整几何图象，通过让直线旋转、平移，寻找使其与曲线产生零交点的斜率 $k$ 与截距 $b$ 的临界代数边界。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 若曲线 $y^2=|x|+1$ 与直线 $y=kx+b$ 没有公共点，则 $k,b$ 分别应满足的条件是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

剖析并作出曲线图象：方程 $y^2=|x|+1⟹|x|=y^2-1$。因为 $|x|\ge 0⟹y^2\ge 1⟹y\ge 1$ 或 $y\le -1$。

• 当 $x\ge 0$ 时， $x=y^2-1$，是一条开口向右、顶点为 $(-1,0)$ 但在 $x\ge 0$ 区域表现为顶点在 $(0,1)$ 和 $(0,-1)$ 的双向抛物线分支。
• 当 $x<0$ 时， $-x=y^2-1⟹x=1-y^2$，是一条开口向左、在 $x<0$ 区域对称分布的抛物线分支。 这一曲线共同构成了两个向左、右两侧无限延伸的类似“双曲线”走势的抛物线上下大外壳。 旋转平移直线找盲区：直线 $y=kx+b$ 与其没有公共点，说明直线必须完全穿行在这个图形上下两层壳之间的“空白带”区域。 推导临界边界：
• 观察可知，若斜率 $k\ne 0$，只要直线无限延伸，由于抛物线渐近的阶数是 2 次，而直线是一次，直线必定会在无穷远处穿透抛物线的壳产生交点。
• 唯一的例外是直线保持严格水平，即 $k=0$。
• 当 $k=0$ 时，直线方程为水平线 $y=b$。要使其不与抛物线外壳（$y\ge 1$ 和 $y\le -1$）产生任何交点，这条水平线必须完全夹在上下两个顶点之间。由此锁定 $b$ 的闭区间范围。

✅【答案】

Success

$k=0,-1<b<1$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先对曲线方程 $y^2=|x|+1$ 的代数结构进行几何分析。 移项变形得： $|x|=y^2-1$ 因为绝对值恒为非负数（ $|x|\ge 0$），所以自变量对应的纵坐标必须满足： $y^2-1\ge 0⟹y^2\ge 1⟹y\ge 1\text{或}y\le -1$

根据 $x$ 的正负符号去掉绝对值，进行分段解析式拆分：

• 当 $x\ge 0$ 时， 方程为 $x=y^2-1$（开口向右的抛物线在 $y\ge 1$ 和 $y\le -1$ 上的两段右侧壳）；

• 当 $x<0$ 时， 方程为 $-x=y^2-1⟹x=1-y^2$（开口向左的抛物线在 $y\ge 1$ 和 $y\le -1$ 上的两段左侧壳）。

在直角坐标系中画出该曲线，可以直观地看到：整个图形是由关于 $x$ 轴、 $y$ 轴均对称的上下两个大“漏斗壳”构成，其顶点坐标分别为 $(0,1)$ 和 $(0,-1)$。 纵坐标在开区间 $(-1,1)$ 内部是一个完全没有任何曲线轨迹分布的空白盲区带。

现在引入动直线 $y=kx+b$。要使直线与该曲线没有任何公共点，直线必须完全嵌在这个上下外壳之间的空白带中。

• 对于斜率 $k$：若 $k\ne 0$，直线是一次函数，而抛物线分支在向外延伸时， $y$ 轴方向的增长速率慢于一次（因为 $x\propto y^2⟹y\propto \sqrt{x}$）。因此，任何非水平的倾斜直线，只要向外无限延伸，都必然在第一象限、第二象限、第三象限或第四象限的某处横向穿透抛物线外壳，从而产生交点。 因此，要实现无交点，直线必须保持严格水平，即： $k=0$

• 对于截距 $b$：当 $k=0$ 时，直线退化为水平线 $y=b$。要使这条水平线不撞击上壳 $y\ge 1$ 且不撞击下壳 $y\le -1$，它必须完全夹在两个顶点的纵坐标之间，即满足： $-1<b<1$

综上所述， $k,b$ 分别应满足的条件是 $k=0$ 且 $-1<b<1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段绝对值抛物线图象的绘制、直线与曲线交点个数的数形结合判定、一次函数与根式型抛物线在无穷远处的阶数比较。
• 核心方法：数形结合法、盲区跨度夹逼法。
• 避坑指南：
• 极易误认为存在某个微小的 $k\ne 0$ 使得直线与抛物线切变而不相交。必须清醒地认识到：直线是 1 次增长，抛物线是 $\frac{1}{2}$ 次增长（以 $x$ 为自变量看），一次函数在无穷远处必然会超越半次函数。因而倾斜直线绝不可能保持不相交，斜率 $k$ 必须严格锁死为 0。
• 确定 $b$ 的边界时，注意当 $b=1$ 或 $b=-1$ 时，水平线恰好经过顶点 $(0,1)$ 或 $(0,-1)$ 产生一个切点，不符合“没有公共点”的要求，因而必须采用严格开区间，即 $-1<b<1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查解析几何中“无公共点”含参临界控制的高端创新填空压轴题。通过对常规抛物线进行绝对值及换轴变形，深度考查考生的空间作图直觉与极限思维。 结论推广: 针对任何构型为 $|x|=|y{|}^{\alpha }-C$ ($C>0,\alpha >1$) 的闭锁盲区多壳曲线， 若直线 $y=kx+b$ 与其无公共点，其对应的斜率恒为 0，且截距 $b$ 严格受限于上下顶点所夹的开区间跨度内。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-14 填-分段函数图象交点
• 2014-江苏卷-05 填-函数图象的交点