2006-上海卷理-09 填-排列与组合计数原理

本题导读

本题考查古典概型的概率计算。核心在于利用组合数或排列数正确计量样本空间的总事件数，并对左边 4 本属于同一部小说的特殊事件进行精确计数。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(理)） 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成, 每卷 1 本, 共 8 本. 将它们任意地排成一排, 左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是$\underline{}$. (结果用分数表示)

🔍【思路分析】

破题导航

总基本事件数：8 本不同的书任意排成一排，总的排列总数满足全排列公式 $N={\text{A}}_8^8$。 特殊事件数：两部小说分别记为甲部和乙部，每部各有 4 本。“左边 4 本恰好都属于同一部小说”包含两类互斥情况：

• 情况一：左边 4 本全部是甲部小说，右边 4 本全部是乙部小说。方法数为左边内部全排列乘以右边内部全排列，即 ${\text{A}}_4^4\times {\text{A}}_4^4$。
• 情况二：左边 4 本全部是乙部小说，右边 4 本全部是甲部小说。同理，方法数也为 ${\text{A}}_4^4\times {\text{A}}_4^4$。 计算概率：满足要求的总事件数除以总样本数。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{35}$

✍【详细解析】

Abstract

解：将 8 本互不相同的书任意排成一排，样本空间中总的基本事件数为： $N={\text{A}}_8^8=8!$

设“左边 4 本恰好都属于同一部小说”为事件 $W$。 由于一共有两部不同的小说，不妨设为小说 $X$ 和小说 $Y$，每部小说各包含 4 本。 满足事件 $W$ 要求的排列分布只能分为以下互斥的两大类：

• 第一类：左边的 4 个位置全部放置小说 $X$，右边 4 个位置全部放置小说 $Y$ 左边 4 本书的内部全排列有 ${\text{A}}_4^4$ 种，右边 4 本书的内部全排列有 ${\text{A}}_4^4$ 种。 根据分步乘法计数原理，此类排列方案数为： $m_1={\text{A}}_4^4\times {\text{A}}_4^4=4!\times 4!$
• 第二类：左边的 4 个位置全部放置小说 $Y$，右边 4 个位置全部放置小说 $X$ 同理，此类排列方案数为： $m_2={\text{A}}_4^4\times {\text{A}}_4^4=4!\times 4!$

根据分类加法计数原理，属于同一部小说的特殊排列总方案数为： $m=m_1+m_2=2\times (4!\times 4!)$

根据古典概型的概率计算公式，事件 $W$ 发生的概率为： $P(W)=\frac{m}{N}=\frac{2\times 4!\times 4!}{8!}$ 将阶乘项展开进行约分消元： $P(W)=\frac{2\times (4\times 3\times 2\times 1)\times 4!}{8\times 7\times 6\times 5\times 4!}=\frac{2\times 24}{8\times 7\times 6\times 5}=\frac{48}{1680}=\frac{1}{35}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分块全排列计数公式、古典概型分子分母元素基数一致性准则。
• 核心方法：分块排列法。
• 避坑指南：
• 极易遗漏左边放第一部或第二部小说的种类系数 2，导致最终概率错算成 $\frac{1}{70}$。
• 展开阶乘化简时，优先保留一侧的 $4!$ 与分母直接约去，可大幅简化多项式高数值乘法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查排列组合计数与古典概型求概率最基础、最典型的常规填空题，重在考查分块思想。 结论推广: 将两组数量各为 $n$ 个的互异元素（总数 $2n$ 个）任意混排，左侧 $n$ 个元素恰好完全由其中同一组元素构成的全局概率通式恒满足： $P=\frac{2\cdot (n!{)}^2}{(2n)!}=\frac{2}{{\text{C}}_{2n}^n}$。本题中 $n=4$，一秒秒杀即为 $\frac{2}{{\text{C}}_8^4}=\frac{2}{70}=\frac{1}{35}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷理-16 填-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用