2006-上海春-22 解-分段等差数列推广

本题导读

（1）$a_{10}=10$，$a_{20}=10+10d=40$ 得 $d=3$；（2）$a_{30}=10(1+d+d^2)=10\left[{\left(d+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\right]⩾\frac{15}{2}$；（3）推广为公差 $d^n$ 的分段等差数列，$a_{10(n+1)}=10(1+d+\cdots +d^n)$。

📌【题干】

Question

已知数列 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_{30}$，其中 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_{10}$ 是首项为 $1$，公差为 $1$ 的等差数列；$a_{10}$，$a_{11}$，$\cdots$，$a_{20}$ 是公差为 $d$ 的等差数列；$a_{20}$，$a_{21}$，$\cdots$，$a_{30}$ 是公差为 $d^2$ 的等差数列（$d\ne 0$）。 （1）若 $a_{20}=40$，求 $d$； （2）试写出 $a_{30}$ 关于 $d$ 的关系式，并求 $a_{30}$ 的取值范围； （3）续写已知数列，使得 $a_{30}$，$a_{31}$，$\cdots$，$a_{40}$ 是公差为 $d^3$ 的等差数列，$\cdots \cdots$，依次类推，把已知数列推广为无穷数列。提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）前 $10$ 项是首项 $1$ 公差 $1$ 的等差数列，$a_{10}=10$；$a_{20}=10+10d=40$，得 $d=3$。
2. （2）$a_{30}=a_{20}+10d^2=10+10d+10d^2=10(1+d+d^2)$，配方求 $d\ne 0$ 时的取值范围。
3. （3）类比：每 $10$ 项为一段，第 $n+1$ 段公差为 $d^n$；研究 $a_{10(n+1)}$ 关于 $d$ 的关系式与取值范围。
4. $a_{10(n+1)}=10(1+d+\cdots +d^n)$，按 $d\ne 1$ 与 $d=1$ 分别求和，得结论。

✅【答案】

Success

（1）$d=3$；（2）$a_{30}=10(1+d+d^2)$（$d\ne 0$），$a_{30}\in \left[\frac{15}{2},+\infty \right)$；（3）结论见解析。

✍【详细解析】

Abstract

（1）$a_{10}=10$。又 $a_{20}=10+10d=40$，所以 $d=3$。 （2）由题意，$a_{30}=a_{20}+10d^2=10(1+d+d^2)$（$d\ne 0$）。 于是 $a_{30}=10\left[{\left(d+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\right]$。 当 $d\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 时，$a_{30}\in \left[\frac{15}{2},+\infty \right)$。 （3）所给数列可推广为无穷数列 $\{a_n\}$，其中 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_{10}$ 是首项为 $1$，公差为 $1$ 的等差数列； 当 $n⩾1$ 时，数列 $a_{10n}$，$a_{10n+1}$，$\cdots$，$a_{10(n+1)}$ 是公差为 $d^n$ 的等差数列。 研究的问题可以是：试写出 $a_{10(n+1)}$ 关于 $d$ 的关系式，并求 $a_{10(n+1)}$ 的取值范围。 由 $a_{40}=a_{30}+10d^3=10(1+d+d^2+d^3)$，依次类推可得 $a_{10(n+1)}=10(1+d+\cdots +d^n)=\{\begin{array}{ll}10\times \frac{1-d^{n+1}}{1-d},& d\ne 1,\\ 10(n+1),& d=1.\end{array}$ 例如，当 $d>0$ 时，$a_{10(n+1)}$ 的取值范围为 $(10,+\infty )$ 等。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段等差数列推广

核心方法：分段公差逐段累加与归纳

避坑指南：$a_{20}=10+10d$，$a_{30}=10(1+d+d^2)$；推广 $a_{10(n+1)}=10(1+d+\cdots +d^n)$，$d\ne 1$ 时等比求和、$d=1$ 时 $10(n+1)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段等差数列与归纳推广

结论推广：逐段用等差数列通项累加；推广后按公比 $d$ 是否为 $1$ 分类求和

方法推广：探究题由特例（$n=1,2,3$）猜规律再归纳；等比求和必分 $q=1$ 与 $q\ne 1$ 两类

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比
• 2009-湖北卷文-19 解-等差数列与递推关系

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