2006-上海春-19 解-三角化简与值域

本题导读

（1）$f(x)=\sqrt{3}\sin x-\cos x$，代入 $\sin x=\frac{4}{5}$、$\cos x=-\frac{3}{5}$ 得 $f=\frac{4\sqrt{3}+3}{5}$；（2）$f(x)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$，$x-\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$，值域 $[1,2]$。

📌【题干】

Question

已知函数 $f(x)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-2\cos x$，$x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$。 （1）若 $\sin x=\frac{4}{5}$，求函数 $f(x)$ 的值； （2）求函数 $f(x)$ 的值域。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开：$f(x)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\right)-2\cos x=\sqrt{3}\sin x-\cos x$。
2. （1）由 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$、$\sin x=\frac{4}{5}$ 得 $\cos x=-\frac{3}{5}$，代入即得。
3. （2）逆用两角差公式：$f(x)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$。
4. $x-\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$，$\sin$ 在该区间取值 $\left[\frac{1}{2},1\right]$，故值域 $[1,2]$。

✅【答案】

Success

（1）$\frac{4\sqrt{3}+3}{5}$；（2）值域为 $[1,2]$。

✍【详细解析】

Abstract

先化简：$f(x)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\right)-2\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\cos x=\sqrt{3}\sin x-\cos x$。 （1）因为 $\sin x=\frac{4}{5}$，且 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$，所以 $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\frac{3}{5}$。 故 $f(x)=\sqrt{3}\times \frac{4}{5}-\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{4\sqrt{3}}{5}+\frac{3}{5}=\frac{4\sqrt{3}+3}{5}$。 （2）由 $f(x)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$，且 $x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$，得 $\frac{\pi }{3}⩽x-\frac{\pi }{6}⩽\frac{5\pi }{6}$。 因此 $\frac{1}{2}⩽\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)⩽1$， 从而函数 $f(x)$ 的值域为 $[1,2]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角化简与值域

核心方法：展开化一后整体代换

避坑指南：$f(x)=\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$；$x-\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$，$\sin$ 取值 $\left[\frac{1}{2},1\right]$，值域 $[1,2]$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换与值域

结论推广：展开合并化为 $A\sin (\omega x+\phi )$，整体代换求值域

方法推广：值域题先化成单一函数，再看区间端点对应的相位范围，注意单调区间是否完整

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-15 解-三角降幂与值域
• 2008-安徽文-17 解-三角化简值域

专题合集 (Series)