2006-上海春-18 解-复数虚根定实系数方程

本题导读

$w(1+2i)=4+3i$ 得 $w=2-i$；$z=\frac{5}{2-i}+|-i|=3+i$；实系数方程虚根成对，$x^2-(z+\bar{z})x+z\bar{z}=0$ 即 $x^2-6x+10=0$。

📌【题干】

Question

已知复数 $w$ 满足 $w-4=(3-2w)\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），$z=\frac{5}{w}+|w-2|$，求一个以 $z$ 为根的实系数一元二次方程。

🔍【思路分析】

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1. 由 $w-4=(3-2w)\mathrm{i}$ 整理得 $w(1+2i)=4+3i$，解出 $w=\frac{4+3i}{1+2i}=2-i$。
2. 代入 $z=\frac{5}{w}+|w-2|=\frac{5}{2-i}+|-i|=(2+i)+1=3+i$。
3. 实系数一元二次方程若有虚根 $z=3+i$，则必有共轭虚根 $\bar{z}=3-i$。
4. 由 $z+\bar{z}=6$、$z\bar{z}=10$，所求方程为 $x^2-6x+10=0$。

✅【答案】

Success

$x^2-6x+10=0$（即以 $z=3+i$ 与 $\bar{z}=3-i$ 为根的一元二次方程）。

✍【详细解析】

Abstract

【法一】由 $w-4=(3-2w)\mathrm{i}$，整理得 $w+2w\mathrm{i}=4+3\mathrm{i}$，即 $w(1+2\mathrm{i})=4+3\mathrm{i}$， 所以 $w=\frac{4+3\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}=\frac{(4+3\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}{(1+2\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}=\frac{10-5\mathrm{i}}{5}=2-\mathrm{i}$。 从而 $z=\frac{5}{2-\mathrm{i}}+|-\mathrm{i}|=\frac{5(2+\mathrm{i})}{5}+1=(2+\mathrm{i})+1=3+\mathrm{i}$。 若实系数一元二次方程有虚根 $z=3+\mathrm{i}$，则必有共轭虚根 $\bar{z}=3-\mathrm{i}$。 又 $z+\bar{z}=6$，$z\bar{z}=10$， 所求的一个一元二次方程可以是 $x^2-6x+10=0$。 【法二】设 $w=a+b\mathrm{i}$（$a$，$b\in \mathbf{R}$）。由 $a+b\mathrm{i}-4=3\mathrm{i}-2a\mathrm{i}+2b$ 得 $\{\begin{array}{l}a-4=2b,\\ b=3-2a,\end{array}$ 解得 $\{\begin{array}{l}a=2,\\ b=-1.\end{array}$ 故 $w=2-\mathrm{i}$。以下同法一，所求的一个一元二次方程可以是 $x^2-6x+10=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数虚根定实系数方程

核心方法：虚根成对共轭定理

避坑指南：$w=2-\mathrm{i}$，$z=3+\mathrm{i}$；实系数方程虚根必共轭成对，由 $z+\bar{z}=6$、$z\bar{z}=10$ 写方程 $x^2-6x+10=0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：实系数方程虚根成对

结论推广：虚根 $z$ 与 $\bar{z}$ 成对出现，由两根和与积写出方程

方法推广：$x^2-(z+\bar{z})x+z\bar{z}=0$；复数方程先化简 $w$ 再算 $z$，除法用共轭乘法分母实数化

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-07 填-复数虚根与模
• 2010-上海卷文-04 填-共轭复数运算

专题合集 (Series)