2006-上海春-15 单-双曲线与充要条件

本题导读

方程表双曲线等价于 $(k-3)(k+3)>0$，即 $k>3$ 或 $k<-3$；$k>3$ 能推出但推不回来，故为充分不必要条件，选 A。

📌【题干】

Question

若 $k\in \mathbf{R}$，则"$k>3$"是”方程 $\frac{x^2}{k-3}-\frac{y^2}{k+3}=1$ 表示双曲线”的（　） (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程 $\frac{x^2}{k-3}-\frac{y^2}{k+3}=1$ 表示双曲线等价于 $(k-3)(k+3)>0$。
2. 解得 $k>3$ 或 $k<-3$。
3. $k>3\Rightarrow$ 双曲线成立（充分）。
4. 双曲线时 $k$ 可能小于 $-3$，推不出 $k>3$（不必要）。故选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方程 $\frac{x^2}{k-3}-\frac{y^2}{k+3}=1$ 表示双曲线，等价于 $x^2$ 项与 $y^2$ 项分母同号， 即 $(k-3)(k+3)>0$，解得 $k>3$ 或 $k<-3$。 由 $k>3$ 可以推出方程表示双曲线，充分性成立； 反之，方程表示双曲线时 $k$ 也可以取 $k<-3$，推不出 $k>3$，必要性不成立。 故"$k>3$"是”方程表示双曲线”的充分不必要条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线与充要条件

核心方法：方程定型转不等式定范围

避坑指南：表示双曲线需 $(k-3)(k+3)>0$，即 $k>3$ 或 $k<-3$；$k>3$ 推得出推不回，充分不必要

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线方程定型与充要条件

结论推广：二次方程表示双曲线等价于平方项系数同号，转化为不等式定参数范围

方法推广：方程定型题先写等价条件（系数同号/判别式），再判断条件的充分必要性

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-03 单-充分不必要条件
• 2008-北京文-03 单-充要条件与双曲线准线

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