2006-上海春-14 单-不等式性质判断

本题导读

$c^2+1>0$ 恒成立，$a>b$ 两边同除以正数不变号，C 成立；A、B、D 均可举反例。

📌【题干】

Question

若 $a$，$b$，$c\in \mathbf{R}$，$a>b$，则下列不等式成立的是（　） (A) $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ (B) $a^2>b^2$ (C) $\frac{a}{c^2+1}>\frac{b}{c^2+1}$ (D) $a|c|>b|c|$

🔍【思路分析】

破题导航

1. A：取 $a=1$，$b=-2$，$\frac{1}{a}=1>\frac{1}{b}=-\frac{1}{2}$，不成立。
2. B：取 $a=1$，$b=-2$，$a^2=1<b^2=4$，不成立。
3. C：$c^2+1⩾1>0$ 恒成立，正数除法保持不等号方向，成立。
4. D：取 $c=0$，两边都是 $0$，不成立。故选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

选项 A：取 $a=1$，$b=-2$，则 $\frac{1}{a}=1>-\frac{1}{2}=\frac{1}{b}$，不等式不成立。 选项 B：取 $a=1$，$b=-2$，则 $a^2=1<b^2=4$，不等式不成立。 选项 C：因为 $c^2+1⩾1>0$，在不等式 $a>b$ 两边同除以正数 $c^2+1$， 不等号方向不变，得 $\frac{a}{c^2+1}>\frac{b}{c^2+1}$，恒成立。 选项 D：取 $c=0$，则 $a|c|=b|c|=0$，不等式不成立。 故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式性质判断

核心方法：正因子除法与反例排除

避坑指南：$c^2+1⩾1>0$ 恒正，同除不变号选 C；A 用 $b<0$ 反例、D 用 $c=0$ 反例即可排除

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：不等式性质判断

结论推广：恒成立项用性质证明（正因子除法），不恒成立项举反例

方法推广：判断不等式性质题：正数除乘不变号、负数变号、零因子失效三类逐一检查

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-广东文-10 单-含绝对值不等式性质
• 2008-浙江文-05 单-均值不等式判断

专题合集 (Series)