2006-上海春-10 填-向量和的模

本题导读

$|2\vec{a}+\vec{b}{|}^2=4|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}=12+16+4\times \sqrt{3}\times 4\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=4$，故模为 $2$。

📌【题干】

Question

若向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 的夹角为 $150^{\circ }$，$|\vec{a}|=\sqrt{3}$，$|\vec{b}|=4$，则 $|2\vec{a}+\vec{b}|=\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平方展开：$|2\vec{a}+\vec{b}{|}^2=4|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$。
2. $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 150^{\circ }=\sqrt{3}\times 4\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-6$。
3. 代入得 $|2\vec{a}+\vec{b}{|}^2=12-24+16=4$，故 $|2\vec{a}+\vec{b}|=2$。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

先求数量积：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos 150^{\circ }=\sqrt{3}\times 4\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-6$。 将模平方展开： $|2\vec{a}+\vec{b}{|}^2=4|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=4\times 3+4\times (-6)+16=12-24+16=4$。 故 $|2\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{4}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量和的模

核心方法：模平方展开

避坑指南：$|2\vec{a}+\vec{b}{|}^2=4|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=12-24+16=4$；$\vec{a}\cdot \vec{b}$ 带负号别漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量模的平方展开

结论推广：$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$

方法推广：求向量和差模一律平方展开，用数量积与夹角公式回代

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-05 填-向量和的模
• 2008-天津文-14 填-向量减法与模

专题合集 (Series)