2006-上海春-09 填-面积定值求二倍角

本题导读

$S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot \sin C=20\sin C=12$，得 $\sin C=\frac{3}{5}$，$\cos 2C=1-2{\sin }^{2}C=\frac{7}{25}$。

📌【题干】

Question

在 $△ABC$ 中，已知 $BC=8$，$AC=5$，三角形面积为 $12$，则 $\cos 2C=\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 面积公式 $S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot \sin C=\frac{1}{2}\times 8\times 5\sin C=20\sin C$。
2. 由 $S=12$ 得 $\sin C=\frac{3}{5}$。
3. 降幂公式 $\cos 2C=1-2{\sin }^{2}C=1-2\times \frac{9}{25}=\frac{7}{25}$。

✅【答案】

Success

$\frac{7}{25}$

✍【详细解析】

Abstract

由三角形面积公式， $S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot \sin C=\frac{1}{2}\times 8\times 5\times \sin C=20\sin C=12$， 解得 $\sin C=\frac{3}{5}$。 由二倍角降幂公式， $\cos 2C=1-2{\sin }^{2}C=1-2\times {\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面积定值求二倍角

核心方法：面积公式与降幂公式联用

避坑指南：$20\sin C=12$ 得 $\sin C=\frac{3}{5}$，$\cos 2C=1-2{\sin }^{2}C=\frac{7}{25}$；先定 $\sin C$ 再降幂，不必讨论角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形与二倍角

结论推广：面积公式反推角的正弦，再用降幂公式求二倍角余弦

方法推广：$\cos 2C=1-2{\sin }^{2}C$，已知正弦求二倍角余弦不必求余弦（避免讨论符号）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-07 单-解三角形面积求角
• 2010-安徽卷文-16 解-面积数量积与余弦定理

专题合集 (Series)