2006-上海春-03 填-限定区间反函数

本题导读

由 $y=3x+5$ 反解得 $x=\frac{y-5}{3}$，注意原函数值域 $[5,8]$ 即反函数定义域。

📌【题干】

Question

函数 $f(x)=3x+5$（$x\in [0,1]$）的反函数 $f^{-1}(x)=\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=3x+5$ 反解得 $x=\frac{y-5}{3}$。
2. 互换 $x$、$y$ 得 $f^{-1}(x)=\frac{x-5}{3}$。
3. 原函数 $x\in [0,1]$ 时值域为 $[5,8]$，即为反函数的定义域。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{3}(x-5)$，$x\in [5,8]$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=3x+5$ 得 $x=\frac{y-5}{3}$，故反函数为 $f^{-1}(x)=\frac{1}{3}(x-5)$。 原函数 $f(x)=3x+5$ 在 $[0,1]$ 上的值域为 $[5,8]$， 所以反函数的定义域为 $[5,8]$，即 $f^{-1}(x)=\frac{1}{3}(x-5)$，$x\in [5,8]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：限定区间反函数

核心方法：反解 x 再限定定义域

避坑指南：反函数 $f^{-1}(x)=\frac{1}{3}(x-5)$，定义域由原函数值域 $[5,8]$ 确定；漏写定义域是常见扣分点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数与定义域值域互换

结论推广：反函数定义域是原函数值域，区间限定的反函数必须回写定义域

方法推广：求反函数三步：反解、互换、限定定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式
• 2009-上海卷文-01 填-反函数

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