2006-上海春-01 填-数列极限同除最高次项

本题导读

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n-2}{4n+3}$，分子分母同除 $n$，极限 $=\frac{3}{4}$。

📌【题干】

Question

计算：$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n-2}{4n+3}=\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子、分母都是关于 $n$ 的一次式。
2. 分子分母同除以 $n$：$\frac{3-\frac{2}{n}}{4+\frac{3}{n}}$。
3. 令 $n\to \infty$，$\frac{2}{n}\to 0$，$\frac{3}{n}\to 0$，得极限 $\frac{3}{4}$。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n-2}{4n+3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3-\frac{2}{n}}{4+\frac{3}{n}}$。 当 $n\to \infty$ 时，$\frac{2}{n}\to 0$，$\frac{3}{n}\to 0$， 故原式 $=\frac{3-0}{4+0}=\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列极限同除最高次项

核心方法：分子分母同除最高次项

避坑指南：分子分母同除 $n$ 得 $\frac{3-\frac{2}{n}}{4+\frac{3}{n}}\to \frac{3}{4}$；一次式极限看一次项系数比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列极限基础题

结论推广：有理式极限分子分母同除最高次项，极限由最高次项系数比决定

方法推广：$\lim \frac{P(n)}{Q(n)}$ 次数相同取首项系数比，低次项归零

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-02 填-数列极限
• 2013-上海卷理-01 填-无穷数列极限运算

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