2006-上海文-19 解-直三棱柱异面角与体积

本题导读

本题考查异面直线所成的角。核心在于平移法求异面直线角。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle ABC=90^{\circ }$，$AB=BC=1$。 （1）求异面直线 $B_1{C}_1$ 与 $AC$ 所成角的大小； （2）若 $A_{1}C$ 与平面 $ABC$ 所成角为 $45^{\circ }$，求三棱锥 $A_1-ABC$ 的体积。

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）直三棱柱中 $B_1{C}_1\parallel BC$，故异面直线 $B_1{C}_1$ 与 $AC$ 所成角等于 $\angle ACB$。
2. $△ABC$ 是等腰直角三角形，$\angle ACB=45^{\circ }$。
3. （2）$A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$，故 $A_{1}C$ 在平面 $ABC$ 上的射影是 $AC$，$\angle A_{1}CA=45^{\circ }$。
4. $AC=\sqrt{2}$，故 $A{A}_1=AC\cdot \tan 45^{\circ }=\sqrt{2}$。
5. 三棱锥 $A_1-ABC$ 体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot A{A}_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$。

✅【答案】

Success

(1)$45^{\circ }$

(2)$\frac{\sqrt{2}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）在直三棱柱中 $B_1{C}_1\parallel BC$，所以异面直线 $B_1{C}_1$ 与 $AC$ 所成的角等于直线 $BC$ 与 $AC$ 所成的角，即 $\angle ACB$。 由 $\angle ABC=90^{\circ }$、$AB=BC=1$，知 $△ABC$ 为等腰直角三角形， 故 $\angle ACB=45^{\circ }$，即异面直线 $B_1{C}_1$ 与 $AC$ 所成角为 $45^{\circ }$。 （2）因为 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$，所以 $A_{1}C$ 在平面 $ABC$ 上的射影为 $AC$， 故 $A_{1}C$ 与平面 $ABC$ 所成角为 $\angle A_{1}CA=45^{\circ }$。 由 $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{2}$，得 $A{A}_1=AC\cdot \tan 45^{\circ }=\sqrt{2}$。 三棱锥 $A_1-ABC$ 的体积 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot A{A}_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$。 【注】本题(2)答案为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$；答案册文本层将其误识为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$（分子分母上下错位），多源详解均确认为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直三棱柱异面角与体积

核心方法：平移法求异面角、线面角定高

避坑指南：$B_1{C}_1\parallel BC$ 平移共面，$A{A}_1\perp$ 面得 $\angle A_{1}CA=45^{\circ }$ 定高 $\sqrt{2}$；体积 $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$，注意是 $\sqrt{2}$ 除以 $6$ 不是 $\sqrt{6}$ 除以 $2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 直三棱柱异面角与体积，立体几何题

结论推广: 平移法求异面角，线面角定高，棱锥体积公式

方法推广: 线面角的平面角是斜线与射影的夹角，棱锥体积 $V=\frac{1}{3}Sh$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁卷文-18 解-直三棱柱平行与体积
• 2013-四川卷文-19 解-三棱柱线面与体积