2006-上海文-11 填-绝对值曲线与直线交点

本题导读

本题考查绝对值曲线，以及曲线与直线的交点。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 若曲线 $|y|=2^x+1$ 与直线 $y=b$ 没有公共点，则 $b$ 的取值范围是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|y|=2^x+1$ 可视为 $y=2^x+1$（$y>0$ 一支）与其关于 $x$ 轴的对称 $y=-(2^x+1)$（$y<0$ 一支）。
2. 当 $x\to -\infty$ 时 $2^x+1\to 1$，故曲线两支分别在 $y⩾1$ 与 $y⩽-1$ 两带内。
3. 直线 $y=b$ 与曲线无交点，需 $b$ 落在 $-1<b<1$ 的开区间内。

✅【答案】

Success

$-1<b<1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $|y|=2^x+1⩾1$ 得 $|y|⩾1$，即 $y⩾1$ 或 $y⩽-1$。 这说明曲线完全落在两条水平带 $y⩾1$ 与 $y⩽-1$ 之外（不含边界值 $-1,1$，因 $2^x>0$ 恒成立）。 因此直线 $y=b$ 与曲线没有公共点，当且仅当 $-1<b<1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值曲线与直线交点

核心方法：去绝对值画两支曲线判交点

避坑指南：$|y|=2^x+1$ 得 $y⩾1$ 或 $y⩽-1$，与 $y=b$ 无交点需 $-1<b<1$；注意端点 $-1,1$ 取不到（$2^x>0$）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 绝对值曲线与直线交点，函数图象题

结论推广: 去绝对值得两支曲线，判断与水平直线的交点

方法推广: 含绝对值曲线先分类去绝对值画图，交点问题转值域分析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-14 填-分段函数图象交点
• 2013-湖南卷文-06 单-函数图象交点