2006-上海文-07 填-双曲线基本量定方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是 $(3,0)$，且焦距与虚轴长之比为 $5:4$，则双曲线的标准方程是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 顶点在 $(3,0)$，说明实轴在 $x$ 轴上，$a=3$。
2. 焦距 $2c$ 与虚轴长 $2b$ 之比为 $5:4$，即 $c:b=5:4$。
3. 设 $c=5k,b=4k$，由 $c^2=a^2+b^2$ 得 $25k^2=9+16k^2$，故 $k^2=1$，$b=4$。
4. 双曲线标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

✍【详细解析】

Abstract

由顶点坐标 $(3,0)$ 知实轴在 $x$ 轴上且 $a=3$。 设焦距为 $2c$、虚轴长为 $2b$，由 $\frac{2c}{2b}=\frac{5}{4}$ 得 $c:b=5:4$。 设 $c=5k,b=4k$（$k>0$），又 $c^2=a^2+b^2$，故 $25k^2=9+16k^2$，解得 $k^2=1$，于是 $b=4$，$c=5$。 因此双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线基本量定方程

核心方法：顶点定 a、焦距虚轴比定 b

避坑指南：顶点 $(3,0)$ 得 $a=3$，$c:b=5:4$ 且 $c^2=a^2+b^2$ 解得 $b=4$；设 $c=5k,b=4k$ 代入 $c^2=a^2+b^2$ 求 $k$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 双曲线标准方程，基础题

结论推广: 由顶点、焦距虚轴比等几何量反推 $a,b,c$

方法推广: 双曲线 $c^2=a^2+b^2$，与椭圆 $a^2=b^2+c^2$ 区别记忆

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2010-天津文-13 填-双曲线方程
• 2014-北京卷文-10 填-双曲线标准方程