2005-重庆卷理-18 解-古典概型概率计算

本题导读

本题主要考查离散型随机变量的概率分布列与数学期望。核心步骤在于运用组合数精确计算各类抽奖结果的古典概率，理清随机变量 $\xi$ 的所有可能取值，并通过加权平均公式计算其期望。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 18. 在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖. 某顾客从此 10 张券中任抽 2 张，求：

(1) 该顾客中奖的概率；

(2) 该顾客获得的奖品总价值 $\xi$ (元) 的概率分布列和期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（中奖概率）：中奖的对立事件是“2张券都没有奖”（即全是无奖券）。利用古典概型求出全无奖的概率，再用对立事件概率公式 $P=1-P(\text{全无奖})$ 求解。
2. 第二问（分布列与期望）：

• 确定变量取值：根据抽到的券组合，讨论其总价值 $\xi$ 的可能情况。可组合为：(无奖+无奖)、(二等+无奖)、(二等+二等)、(一等+无奖)、(一等+二等)。分别计算总面值。
• 计算对应概率：利用超几何分布（组合数分式）分别算出各个取值对应的概率。
• 列分布列并计算期望：将取值与概率填入表格，再利用期望公式 $E\xi =\sum x_i{p}_i$ 计算得出结果。

✅【答案】

Success

（1）从10张券中任取2张共有C₁₀²=45种等可能结果.没有中奖的结果有C₆²=15种，所以该顾客中奖的概率为

✍【详细解析】

Abstract

解： 10 张券的结构为：一等奖券 1 张（50元），二等奖券 3 张（10元），无奖券 6 张（0元）。从中任抽 2 张，总的基本事件数为 ${\mathrm{C}}_{10}^2=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45$。

• (1) 求该顾客中奖的概率 设“该顾客中奖”为事件 $A$，其对立事件 $\bar{A}$ 为“该顾客没有中奖（即抽到的2张全是无奖券）”。 计算没有中奖的事件数：从 6 张无奖券中任取 2 张，有 ${\mathrm{C}}_6^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$ 种。

则没有中奖的概率为： $P(\bar{A})=\frac{{\mathrm{C}}_6^2}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$

所以，该顾客中奖的概率为： $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

• (2) 求该顾客获得的奖品总价值 $\xi$ 的概率分布列和期望 $E\xi$ 根据抽取的可能组合，随机变量 $\xi$ 的所有可能取值为：0, 10, 20, 50, 60 （由于一等奖券只有1张，不可能出现 50+50=100 的情况）。

分别计算对应的概率：

• 当 $\xi =0$ 时，即抽到 2 张无奖券： $P(\xi =0)=\frac{{\mathrm{C}}_6^2}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=\frac{15}{45}$
• 当 $\xi =10$ 时，即抽到 1 张二等奖券和 1 张无奖券： $P(\xi =10)=\frac{{\mathrm{C}}_3^1\cdot {\mathrm{C}}_6^1}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=\frac{3\times 6}{45}=\frac{18}{45}$
• 当 $\xi =20$ 时，即抽到 2 张二等奖券： $P(\xi =20)=\frac{{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=\frac{3}{45}$
• 当 $\xi =50$ 时，即抽到 1 张一等奖券和 1 张无奖券： $P(\xi =50)=\frac{{\mathrm{C}}_1^1\cdot {\mathrm{C}}_6^1}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=\frac{1\times 6}{45}=\frac{6}{45}$
• 当 $\xi =60$ 时，即抽到 1 张一等奖券和 1 张二等奖券： $P(\xi =60)=\frac{{\mathrm{C}}_1^1\cdot {\mathrm{C}}_3^1}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=\frac{1\times 3}{45}=\frac{3}{45}$

(注：为方便后续期望计算中的通分通分，暂不对概率分数进行约分。验证概率和：15+18+3+6+3=45，总和为1，计算无误。)

所以， $\xi$ 的概率分布列为：

$\xi$	0	10	20	50	60
$P$	$\frac{15}{45}$	$\frac{18}{45}$	$\frac{3}{45}$	$\frac{6}{45}$	$\frac{3}{45}$

进而求出数学期望 $E\xi$： $E\xi =0\times \frac{15}{45}+10\times \frac{18}{45}+20\times \frac{3}{45}+50\times \frac{6}{45}+60\times \frac{3}{45}$ $E\xi =\frac{0+180+60+300+180}{45}=\frac{720}{45}=16$

所以，该顾客获得奖品总价值的数学期望 $E\xi =16$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对立事件概率转化法、不放回抽样的超几何古典概率计算、分布列格点完备性检验。
2. 核心方法：组合数建模法、加权期望代数求和法。
3. 避坑指南：

• 切勿漏掉 $\xi$ 的取值状态。在列举奖品价值时，最容易漏掉两张全是二等奖的 “20” 或者一等加二等的 “60”。在列完分布列后，务必将第二行的所有概率分子相加，检查其是否等于分母（即总和为 1）。如果总和不为 1，说明漏项或重复，需要重新排查。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 18 题，是考查古典概型与离散型随机变量数学期望的标准解答题。
2. 结论推广：本题实质上是应用了超几何分布模型的变式扩展。由于奖券面值存在 3 种梯度，退化成了多元超几何分布模型。对于此类问题，唯一万能的手段就是采用分类讨论，将目标组合数乘积作为分子，总抽取组合数作为分母，确保逻辑链路的闭环。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)