2005-重庆卷理-15 填-古典概型与分步乘法计数原理

本题导读

本题主要考查排列组合与古典概型的综合应用。通过合理划分基本事件总数与目标事件数，将复杂的“人进车厢”多元素分配问题拆解为“挑选车厢排布人数”和“分配具体乘客”两个步骤，从而计算出目标古典概率。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 15. 某轻轨列车有 4 节车厢，现有 6 位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这 6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 0, 1, 2, 3 的概率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算基本事件总数（分母）：每个乘客都有 4 种独立的车厢选择方案。根据分步乘法计数原理， 6 位乘客选择车厢的总基本事件数为 $4^6$。
2. 计算目标事件数（分子）：

• 第一步（车厢人数安排）： 4 节不同的车厢，对应的人数分布是 0, 1, 2, 3 的全排列。需要计算有多少种不同分配人数的车厢排法，即 ${\mathrm{A}}_4^4$。
• 第二步（挑选并安置乘客）：将 6 位不同的乘客按照（0人、1人、2人、3人）的定量需求进行组合选派，即先挑出 3 人去那节装 3 人的车厢，再从剩下 3 人里挑 2 人，以此类推。其分组方案数为 ${\mathrm{C}}_6^3\cdot {\mathrm{C}}_3^2\cdot {\mathrm{C}}_1^1\cdot {\mathrm{C}}_0^0$。

3. 计算古典概率：将分子与分母相除并进行分数约分化简。

✅【答案】

Success

根据分步乘法计数原理，目标事件总数 $M$ 为：$M={\mathrm{A}}_4^4\times \left({\mathrm{C}}_6^3\cdot {\mathrm{C}}_3^2\cdot {\mathrm{C}}_1^1\right)=24\times 60=1440$*

✍【详细解析】

Abstract

解： 本题属于古典概型概率计算。

• 第一步：计算所有乘客进入车厢的总基本事件数 $N$ 因为每位乘客进入每节车厢都是等可能的，且共有 4 节车厢。 第 1 位乘客有 4 种选择，第 2 位乘客有 4 种选择，……，第 6 位乘客有 4 种选择。 根据分步乘法计数原理，总基本事件数为： $N=4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4=4^6=4096$

• 第二步：计算满足各车厢人数恰好为 0, 1, 2, 3 的目标事件数 $M$ 该步骤可分为两个独立的阶段进行：

1. 阶段 1：确定哪节车厢对应多少人数 由于 4 节车厢互不相同（可以理解为有编号的 1、2、3、4 号车厢），人数分布 $\{0,1,2,3\}$ 对应车厢的分配方案即为 4 个不同元素的全排列： ${\mathrm{A}}_4^4=4\times 3\times 2\times 1=24$

2. 阶段 2：把 6 位不同的乘客按照确定的人数分进相应车厢 假设此时已经指定好了某一节特定车厢装 3 人，一节装 2 人，一节装 1 人，一节装 0 人。

   • 从 6 人中选 3 人放入装 3 人的车厢，有 ${\mathrm{C}}_6^3$ 种选法；
   • 从剩下的 3 人中选 2 人放入装 2 人的车厢，有 ${\mathrm{C}}_3^2$ 种选法；
   • 从剩下的 1 人中选 1 人放入装 1 人的车厢，有 ${\mathrm{C}}_1^1$ 种选法；
   • 剩下的 0 人自动对应装 0 人的车厢，有 ${\mathrm{C}}_0^0=1$ 种选法。 这部分的组合数为： ${\mathrm{C}}_6^3\cdot {\mathrm{C}}_3^2\cdot {\mathrm{C}}_1^1=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}\times 3\times 1=20\times 3=60$

综上所述，根据分步乘法计数原理，目标事件总数 $M$ 为： $M={\mathrm{A}}_4^4\times \left({\mathrm{C}}_6^3\cdot {\mathrm{C}}_3^2\cdot {\mathrm{C}}_1^1\right)=24\times 60=1440$

• 第三步：计算最终概率 $P$ $P=\frac{M}{N}=\frac{1440}{4^6}=\frac{1440}{4096}$ 分子分母同时除以最大公约数 32 进行约分化简： $\frac{1440÷32}{4096÷32}=\frac{45}{128}$

综合上述，该事件发生的概率为 $\frac{45}{128}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分步乘法计数原理、排列与组合数复合模型的建模、古典概型定义。
2. 核心方法：车厢全排列与人分组的“车、人分离分步计数法”。
3. 避坑指南：

• 分母切勿错写为组合数或隔板法形式。由于每位乘客都是独立的个体， 6 位乘客的决策完全独立。分母必须是 $4^6$，不能写成其他排列组合数。
• 分子部分不要遗漏车厢本身的位置全排列 ${\mathrm{A}}_4^4$。有些同学只计算了对 6 个人进行 $\{3,2,1,0\}$ 的分组方案 60 种，忽略了“哪节车厢装 3 人，哪节车厢装 2 人”的组合差异。车厢本身存在空间独立性，必须乘上 ${\mathrm{A}}_4^4=24$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 15 题，是高中概率统计中关于独立分派、元素定容分配问题的经典题型。
2. 结论推广：设有 $m$ 个不同的元素随机独立地分配到 $n$ 个不同的容器中（每个容器容量无限且各元素选择机会均等），若要求各容器内的元素个数恰好满足一组特定的非负整数序列 $\{k_1,k_2,\cdots ,k_n\}$ （其中 $\sum k_i=m$ ），且该序列中有 $s$ 个彼此不相等的数，则该特定分布的古典概率通项公式为： $P=\frac{{\mathrm{A}}_n^n\cdot \left({\mathrm{C}}_m^{k_1}\cdot {\mathrm{C}}_{m-k_1}^{k_2}\cdots {\mathrm{C}}_{k_n}^{k_n}\right)}{n^m}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

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