2005-重庆卷理-14 填-等比型数列求极限时抓大头的

本题导读

本题考查数列求极限的抓大头思想，以及指数转化技巧。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 14. ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2^{3n}-3^{2n+1}}{2^{3n}+3^{2n}}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数的指数结构：首先利用幂的运算法则 $a^{mn}=(a^m{)}^n$ 和 $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$，将所有含有 $n$ 的指数项统一化为以 $n$ 为唯一指数的形式。

• $2^{3n}=(2^3{)}^n=8^n$
• $3^{2n}=(3^2{)}^n=9^n$
• $3^{2n+1}=3\cdot 3^{2n}=3\cdot 9^n$

2. 分子分母同除以最大基数项：原式化为关于 $8^n$ 和 $9^n$ 的分式。由于当 $n\to \infty$ 时， $9^n$ 的增长速度远快于 $8^n$，应将分子分母同时除以 $9^n$。
3. 利用极限公理求值：转化后，出现形如 ${\left(\frac{8}{9}\right)}^n$ 的多项式。因为 $\left|\frac{8}{9}\right|<1$，当 $n\to \infty$ 时该项趋于 0。消去无穷小项即可直接得出常数解。

✅【答案】

Success

$-3$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：进行幂次结构的化简变形 根据指数幂的运算法则，对分子和分母中的各单项式进行改写： $2^{3n}=(2^3{)}^n=8^n$ $3^{2n}=(3^2{)}^n=9^n$ $3^{2n+1}=3^1\cdot 3^{2n}=3\cdot 9^n$

将变形后的式子代回原极限式中： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2^{3n}-3^{2n+1}}{2^{3n}+3^{2n}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{8^n-3\cdot 9^n}{8^n+9^n}$

• 第二步：分子、分母同除以最高阶项 $9^n$ 为了消除 $\infty -\infty$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$ 的不定精细状态，将分子与分母同时除以增长势头最猛的项 $9^n$： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{8^n}{9^n}-\frac{3\cdot 9^n}{9^n}}{\frac{8^n}{9^n}+\frac{9^n}{9^n}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{{\left(\frac{8}{9}\right)}^n-3}{{\left(\frac{8}{9}\right)}^n+1}$

• 第三步：利用收敛数列的极限运算法则求值 因为常用基本极限结论：当 $|q|<1$ 时， ${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0$。 本题中公比 $q=\frac{8}{9}$，由于 $\left|\frac{8}{9}\right|<1$， 所以： ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{8}{9}\right)}^n=0$

代入化简后的极限式中： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\left(\frac{8}{9}\right)}^n-3}{{\left(\frac{8}{9}\right)}^n+1}=\frac{0-3}{0+1}=\frac{-3}{1}=-3$

综合上述，答案为 $-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比型数列求极限时抓大头（抓高阶无穷大）的空间重构思维、指数转化技巧。
2. 核心方法：最高阶基数消元法。
3. 避坑指南：

• 切勿混淆底数大小导致除错项。部分同学一看到开头的 $2^{3n}$ 的指数上有个 3，就误认为底数比 3 大，从而全式同除了 $8^n$，导致式子变为 $\frac{1-3\cdot (9/8{)}^n}{1+(9/8{)}^n}$。由于 $\frac{9}{8}>1$， $(9/8{)}^n\to \infty$，使得式子仍处于无法直接判断的不定式状态，徒增运算壁垒。
• 注意 $3^{2n+1}$ 拆分时的常数系数。一定要把多的 “$+1$” 转化为乘在前方的常数 3，如果漏掉这一步将其误写为 $1\cdot 9^n$，最终结果就会算错成 $-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 14 题，考查微积分基本概念中有关无穷大增长阶数的定量化简技巧。
2. 结论推广：对于形如 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{A\cdot a^n+B\cdot b^n}{C\cdot a^n+D\cdot b^n}$ 的分式极限，若 $a>0,b>0$，则：

• 当 $a<b$ 时，极限值由底数大的系数决定，结果为 $\frac{B}{D}$；
• 当 $a>b$ 时，极限值由底数大的系数决定，结果为 $\frac{A}{C}$。
• 本题中 $a=8,b=9,A=1,B=-3,C=1,D=1$，由于 $8<9$，直接观察大底数 9 前方的系数，可“秒杀”得到 $\frac{-3}{1}=-3$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 04.01 指数与对数运算

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