2005-重庆卷理-13 填-两角和与差的加法定理

本题导读

本题考查两角和与差的加法定理，以及同角三角函数的商数关系。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 13. 已知 $\alpha$、 $\beta$ 均为锐角，且 $\cos (\alpha +\beta )=\sin (\alpha -\beta )$，则 $\tan \alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（公式展开法）：分别应用两角和的余弦公式 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 和两角差的正弦公式 $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$。展开后将含有 $\alpha$ 的同类项移到等式两侧，提取公因式进行化简，最后两边同除以余弦项化为正切。
2. 方法二（诱导公式法）：利用诱导公式 $\sin \theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$，将右侧的正弦名转化为余弦名，直接根据余弦值相等建立角之间的数量关系，并结合“$\alpha ,\beta$ 均为锐角”判定角范围的唯一解。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 方法一：和差角公式展开法 根据三角恒等变换的和差角公式，将已知等式两端分别展开： $\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

为了求出 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$，我们需要将含 $\sin \alpha$ 的项与含 $\cos \alpha$ 的项分别移项合并： $\cos \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\sin \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

分别提取两边的公因式 $\cos \alpha$ 与 $\sin \alpha$： $\cos \alpha (\cos \beta +\sin \beta )=\sin \alpha (\cos \beta +\sin \beta )$

因为 $\beta$ 为锐角，即 $\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\sin \beta >0$ 且 $\cos \beta >0$，由此可得： $\cos \beta +\sin \beta \ne 0$

在等式两边同时约去非零非负公因式 $(\cos \beta +\sin \beta )$ 得： $\cos \alpha =\sin \alpha$

因为 $\alpha$ 为锐角， $\cos \alpha \ne 0$，两边同除以 $\cos \alpha$ 得： $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=1⟹\tan \alpha =1$

• 方法二：诱导公式转化法 利用诱导公式 $\sin (\alpha -\beta )=\cos \left[\frac{\pi }{2}-(\alpha -\beta )\right]=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha +\beta \right)$，原等式可化为： $\cos (\alpha +\beta )=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha +\beta \right)$

因为 $\alpha ,\beta$ 均为锐角， 所以 $0<\alpha +\beta <\pi$，且 $-\frac{\pi }{2}<\frac{\pi }{2}-\alpha +\beta <\pi$。 在对应的一周范围内，结合区间约束，要使两余弦值相等，最直接的情况为角相等（非等情况由于边界限制可排除）： $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha +\beta$ 两边消去 $\beta$ 移项得： $2\alpha =\frac{\pi }{2}⟹\alpha =\frac{\pi }{4}$

因此： $\tan \alpha =\tan \frac{\pi }{4}=1$

综合上述，答案为 1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和与差的加法定理、同角三角函数的商数关系（弦化切）。
2. 核心方法：公式展开移项提取法、名转化法。
3. 避坑指南：

• 方法一中约掉因式前必须确证其非零。本题中由于条件限制 $\alpha ,\beta$ 为锐角，从而保证了 $(\cos \beta +\sin \beta )>0$，才可以放心在两侧约去该因式。在无明确范围限制的前提下，切不可盲目约掉含有变量的因式，防止漏根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 13 题，是考查三角函数基础变形技能的标准传统题型。
2. 结论推广：若对于任意角满足 $\cos (\alpha +\beta )=\sin (\alpha -\beta )$ 且因式不为 0，则该代数式与参数 $\beta$ 的具体数值无关。其本质恒能化简收敛为 $\sin \alpha =\cos \alpha$，从而推广得出 $\tan \alpha =1$ 的普遍结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)