2005-重庆卷理-12 填-导数切线斜率工具的应用

本题导读

本题考查导数切线斜率工具的应用，以及直角三角形边长的绝对值表示。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 12. 曲线 $y=x^3$ 在点 $(a,a^3)$ ($a\ne 0$) 处的切线与 $x$ 轴、直线 $x=a$ 所围成的三角形的面积为 $\frac{1}{6}$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用导数求切线斜率：对曲线方程 $y=x^3$ 求导，得到导函数 $y^{\prime }=3x^2$。代入切点的横坐标 $a$，求出切线斜率 $k$。
2. 建立切线方程：利用点斜式写出该切线的标准方程，并化简为一般式或斜截式。
3. 求三角形的顶点坐标：

• 直线 $x=a$ 与切线的交点即为切点 $P(a,a^3)$。
• 求出切线与 $x$ 轴的交点坐标。
• 垂足为直线 $x=a$ 与 $x$ 轴的交点 $(a,0)$。

4. 利用面积公式建立方程：这三个点构成一个以 $x$ 轴上片段为底、垂直于 $x$ 轴的线段为高的直角三角形。利用面积等于 $\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}$，令其等于 $\frac{1}{6}$，解出 $a$ 的值。

✅【答案】

Success

$\pm 1$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：求曲线在点 $(a,a^3)$ 处的切线方程 已知曲线解析式为 $y=x^3$，对其求导得： $y^{\prime }=3x^2$ 则曲线在点 $P(a,a^3)$ 处的切线斜率 $k$ 为该点处的导数值： $k=y^{\prime }{|}_{x=a}=3a^2$

利用点斜式公式，切线方程可表示为： $y-a^3=3a^2(x-a)$ 展开并化简得： $y=3a^{2}x-3a^3+a^3⟹y=3a^{2}x-2a^3$

• 第二步：求围成三角形的各个顶点坐标 该三角形由三条直线围成：切线 $y=3a^{2}x-2a^3$、 $x$ 轴（即直线 $y=0$）、直线 $x=a$。

1. 顶点 1（切点）：切线与直线 $x=a$ 的交点，显而易见为 $A(a,a^3)$。

2. 顶点 2（与 $x$ 轴交点）：令切线方程中的 $y=0$： $3a^{2}x-2a^3=0⟹3a^{2}x=2a^3$ 因为已知 $a\ne 0$，两边同除以 $3a^2$ 得： $x=\frac{2}{3}a$ 故交点坐标为 $B\left(\frac{2}{3}a,0\right)$。

3. 顶点 3（直角顶点）：直线 $x=a$ 与 $x$ 轴（ $y=0$ ）的交点，坐标为 $C(a,0)$。

• 第三步：计算三角形面积并求解 $a$ 由于 $A(a,a^3)$ 和 $C(a,0)$ 的横坐标相同，线段 $AC$ 垂直于 $x$ 轴， 而 $B\left(\frac{2}{3}a,0\right)$ 和 $C(a,0)$ 均在 $x$ 轴上， 因此 $△ABC$ 是以 $C$ 为直角顶点的直角三角形。

计算直角边的长度（注意高和底必须使用绝对值以确保长度为正数）：

• 高 $|\text{AC}|=|a^3-0|=|a{|}^3$
• 底 $|\text{BC}|=\left|a-\frac{2}{3}a\right|=\left|\frac{1}{3}a\right|=\frac{1}{3}|a|$

根据三角形面积公式： $S=\frac{1}{2}\times |\text{BC}|\times |\text{AC}|=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}|a|\times |a{|}^3=\frac{1}{6}|a{|}^4$

已知三角形的面积为 $\frac{1}{6}$，因此： $\frac{1}{6}|a{|}^4=\frac{1}{6}⟹|a{|}^4=1$

解得： $|a|=1⟹a=\pm 1$ 由于 $\pm 1\ne 0$，符合题意。

综合上述，答案为 $\pm 1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数切线斜率工具的应用、直角三角形边长的绝对值表示。
2. 核心方法：点斜式方程联立、几何图形解析坐标法。
3. 避坑指南：

• 切勿漏掉负根导致答案不全。由于面积放缩后建立的是偶次方幂方程 $|a{|}^4=1$，开四次方根后 $|a|=1$，对应的解应为 $a=1$ 或 $a=-1$。很多同学在求距离时未加绝对值符号，直接写成 $\frac{1}{6}{a}^4=\frac{1}{6}⟹a=1$，漏掉了 $-1$ 从而导致扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 12 题，重点考查微积分初步中“导数几何意义”与经典平面解析几何图形面积的初高衔接融合。
2. 结论推广：对于任意幂函数 $y=x^n$ ($n>1$)，其在第一象限任一点 $x=a$ 处的切线与 $x$ 轴、直线 $x=a$ 所围成的直角三角形的底长恒为 $\frac{1}{n}a$，其面积公式恒满足： $S=\frac{1}{2n}|a{|}^{n+1}$。本题中 $n=3$，代入推广公式得 $S=\frac{1}{6}|a{|}^4=\frac{1}{6}⟹a=\pm 1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)