2005-重庆卷理-11 填-一元二次不等式与

本题导读

本题考查一元二次不等式与绝对值不等式的经典求解，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(理)） 11. 已知集合 $A=\{x\in \mathbf{R}\mid x^2-x-6<0\}$，集合 $B=\{x\in \mathbf{R}\mid |x-2|<2\}$，则 $A\cap B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $A$：将一元二次不等式 $x^2-x-6<0$ 进行因式分解，求出开区间范围。
2. 化简集合 $B$：利用绝对值不等式的去绝对值规律 $-2<x-2<2$，求出相应的一元一次不等式组解集。
3. 求交集 $A\cap B$：在数轴上寻找到两个区间重叠的部分，即为最终交集结果。

✅【答案】

Success

$\{x\mid 0<x<3\}$（或 $(0,3)$）

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：化简集合 $A$ 对于一元二次不等式 $x^2-x-6<0$： 利用十字相乘法进行因式分解： $(x-3)(x+2)<0$ 解得： $-2<x<3$ 故集合 $A=\{x\mid -2<x<3\}$。

• 第二步：化简集合 $B$ 对于绝对值不等式 $|x-2|<2$： 将其转化为双向不等式组： $-2<x-2<2$ 不等式各项同加 2 得： $0<x<4$ 故集合 $B=\{x\mid 0<x<4\}$。

• 第三步：求交集 $A\cap B$ 根据集合交集的定义， $A\cap B$ 表示同时满足集合 $A$ 和集合 $B$ 的元素集合。 将两个区间在数轴上标出： 区间 $(-2,3)$ 与区间 $(0,4)$ 的重叠区域（相交部分）为： $0<x<3$ 用集合形式表示为 $\{x\mid 0<x<3\}$ 或用区间表示为 $(0,3)$。

综合上述，答案为 $\{x\mid 0<x<3\}$（或 $(0,3)$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次不等式与绝对值不等式的经典求解、集合的交集运算。
2. 核心方法：十字相乘法、数轴交集法。
3. 避坑指南：

• 注意因式分解时的常数符号。 $x^2-x-6$ 分解为 $(x-3)(x+2)$，根为 $3$ 和 $-2$，切勿记反符号错算为 $-3<x<2$。
• 注意区间端点的开闭状态。由于原题中两个不等式均不含等号（均为严格小于号“$<$”），故解得的区间端点均不能取等号，最终答案必须保持开区间形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年重庆高考理科数学第 11 题，作为填空题的第一题，旨在重点检测学生对必修一基础不等式工具的求解准确度。
2. 结论推广：对于任意集合交并集问题，如果代数结构为连续区间，最稳妥、直观且零失误的工具永远是数轴几何表示法，其能有效规避大脑在直接进行数字逻辑比对时产生的边缘错漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)